1. Uma certa onda transversal é descrita por:
y(x, t)=(6,5 \mathrm{~mm}) \cos 2 \pi\left(\frac{x}{28 \mathrm{~cm}}-\frac{t}{0,0360 \mathrm{~s}}\right)
Determine para esta onda
a velocidade de propagação

Passo 1

O enunciado dá a função de uma onda transversal:
y(x,t)=(6,5\\ \mathrm{mm})\cos 2\pi\!\left(\frac{x}{28\\ \mathrm{cm}}-\frac{t}{0,0360\\ \mathrm{s}}\right).
A pergunta é: determinar a velocidade de propagação dessa onda.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Amplitude: 6,5\\ \mathrm{mm} (não é necessária para a velocidade).
  • No argumento do cosseno aparecem dois termos: \dfrac{x}{28\\ \mathrm{cm}} e \dfrac{t}{0,0360\\ \mathrm{s}}. Esses números contêm os comprimentos de onda e o período que precisamos.

Passo 2

Entender a forma padrão de uma onda viajante e as grandezas envolvidas. Uma onda harmônica unidimensional pode ser escrita na forma
y(x,t)=A\cos 2\pi\!\left(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{T}\right),
onde:
  • A é a amplitude (altura máxima),
  • \lambda é o comprimento de onda (distância entre cristas sucessivas) em unidades de comprimento,
  • T é o período (tempo entre passagens sucessivas de uma crista pelo mesmo ponto) em unidades de tempo.
    A frequência f é o inverso do período:
f=\frac{1}{T},
e a velocidade de propagação v relaciona comprimento de onda e período/frequência por
v=\frac{\lambda}{T}=\lambda f.
Outra forma equivalente é v=\dfrac{\omega}{k}, onde \omega=2\pi/T e k=2\pi/\lambda, mas aqui usaremos v=\lambda/T por ser direta e simples.

Passo 3

Comparar a forma dada com a forma padrão para identificar \lambda e T. Do enunciado:
\frac{x}{28\\ \mathrm{cm}} \longleftrightarrow \frac{x}{\lambda}, \qquad \frac{t}{0,0360\\ \mathrm{s}} \longleftrightarrow \frac{t}{T}.
Portanto extraímos:
\lambda = 28\\ \mathrm{cm}, \qquad T = 0,0360\\ \mathrm{s}.
(Observe que peguei esses valores diretamente da expressão dada.)

Passo 4

Converter para unidades SI para facilitar o cálculo em metros por segundo:
\lambda = 28\\ \mathrm{cm} = 0,28\\ \mathrm{m}, \qquad T = 0,0360\\ \mathrm{s}.
Calcular também a frequência, que pode ajudar a conferir:
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,0360\\ \mathrm{s}} \approx 27,78\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Calcular a velocidade usando v=\dfrac{\lambda}{T}:
v=\frac{\lambda}{T}=\frac{0,28\\ \mathrm{m}}{0,0360\\ \mathrm{s}}.
Fazendo a divisão:
\frac{0,28}{0,0360}=7,777\ldots
Arredondando de forma razoável (consistência com os algarismos dados), obtemos
v\approx 7,78\\ \mathrm{m/s}.
Como verificação rápida, usando v=\lambda f: v=0,28\cdot 27,78\approx 7,78\\ \mathrm{m/s}, compatível com o resultado anterior.

Passo 6

Interpretação física curta e dica de prova: a forma \cos 2\pi\!(x/\lambda - t/T) indica uma onda se propagando no sentido positivo de x. Na prova, para obter v basta identificar \lambda e T no argumento do cosseno e aplicar v=\lambda/T. Respira fundo — é sempre esse passo repetitivo que resolve muita questão de onda.

Resposta

v=7,78\\ \mathrm{m/s}

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