Um elétron se move em uma região na qual existe um campo magnético uniforme dado por \vec{B}=B_{x} \hat{\imath}-3 B_{X} \hat{\jmath}. Em certo instante, o elétron tem uma velocidade \vec{v}=(2 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}) \mathrm{m} / \mathrm{s}, e a força magnética que age sobre a partícula é \left(6,4 \times 10^{-19} \hat{\mathrm{k}}\right) N. Determine B_{x}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor:
  • Campo magnético: \vec{B}=B_{x}\,\hat{\imath}-3B_{x}\,\hat{\jmath}.
  • Velocidade do elétron: \vec{v}=(2\,\hat{\imath}-4\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}.
  • Força magnética observada: \vec{F}_{B}=\bigl(0,0,\,6{,}4\times10^{-19}\bigr)\\ \mathrm{N}, isto é \vec{F}_{B}=6{,}4\times10^{-19}\,\hat{\mathrm{k}}\\ \mathrm{N}.
  • Sabe-se que a partícula é um elétron (carga q=-e, com e=1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}).
Pergunta a responder:
  • Determinar B_{x} (no sistema SI, ou seja em tesla).

Passo 2

Lembrete da fórmula fundamental que vamos usar: a força magnética sobre uma partícula de carga q movendo-se com velocidade \vec{v} num campo magnético \vec{B} é dada pelo produto vetorial (força de Lorentz, só a parte magnética aqui):
\vec{F}_{B}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Explicando o que isso significa:
  • q é a carga da partícula (para o elétron q=-e).
  • \vec{v}\times\vec{B} é o produto vetorial entre os vetores velocidade e campo; ele gera um vetor perpendicular ao plano formado por \vec{v} e \vec{B}.
  • Vamos calcular \vec{v}\times\vec{B} componente a componente e depois multiplicar por q.

Passo 3

Regra prática para o produto vetorial em componentes: se \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), então
\vec{v}\times\vec{B}=\bigl(v_y B_z-v_z B_y,\;v_z B_x-v_x B_z,\;v_x B_y-v_y B_x\bigr).
Aqui temos v_z=0 e B_z=0, então as duas primeiras componentes ficarão nulas e só sobra a componente z. Aplicando os valores:
  • v_x=2, v_y=-4,
  • B_x=B_x, B_y=-3B_x,
    portanto
(\vec{v}\times\vec{B})_z = v_x B_y - v_y B_x.

Passo 4

Calculemos explicitamente a componente z do produto vetorial:
(\vec{v}\times\vec{B})_z = 2\cdot(-3B_x) - (-4)\cdot B_x = -6B_x + 4B_x = -2B_x.
Logo
\vec{v}\times\vec{B} = \bigl(0,0,-2B_x\bigr)= -2B_x\,\hat{\mathrm{k}}.

Passo 5

Agora multiplica-se pelo sinal e valor da carga do elétron: q=-e com e=1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. Assim
\vec{F}_{B}=q\,\vec{v}\times\vec{B}=(-e)\cdot\bigl(-2B_x\bigr)\,\hat{\mathrm{k}}=2eB_x\,\hat{\mathrm{k}}.
Observe que o duplo sinal negativo virou positivo, por isso a força na direção +\hat{\mathrm{k}} pode ser positiva mesmo sendo um elétron.

Passo 6

Igualamos a componente z calculada à componente z fornecida no enunciado:
2eB_x = 6{,}4\times10^{-19}\\ \mathrm{N}.
Isolando B_x:
B_x = \frac{6{,}4\times10^{-19}}{2e}.

Passo 7

Substituindo e=1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}:
B_x = \frac{6{,}4\times10^{-19}}{2\cdot 1{,}6\times10^{-19}} = \frac{6{,}4}{3{,}2}=2.
A unidade é tesla ( \mathrm{T}) no SI.

Passo 8

Checagem rápida: dimensões conferem (N/(C·(m/s)) -> T), e o sinal positivo faz sentido com a conta feita (produto vetorial deu componente negativa, carga negativa inverteu o sinal, resultando força positiva em \hat{\mathrm{k}} como dado).

Resposta

B_{x}=2\\ \mathrm{T}

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