Uma certa partícula instável com vida média tau=10^-7 s é acelerada a uma velocidade v. Após ser acelerada, a partícula percorre 100 m até ser detectada no referencial de um laboratório. Determine v para que tal decteção seja possível.

Passo 1

O enunciado fala de uma partícula instável com vida média tau = 10^-7,s que, após ser acelerada a uma velocidade v, percorre 100,m no laboratório antes de decair. Vamos usar o conceito de dilatação do tempo da relatividade restrita para garantir que ela viva tempo suficiente no laboratório para cobrir esses 100,m.

Passo 2

Na relatividade restrita, o tempo próprio tau da partícula aparece dilatado no referencial do laboratório: o tempo de vida no laboratório é tlab = gamma,tau, onde gamma = 1/raiz1-beta^2 e beta = v/c.
A condição para a detecção é que a partícula, movendo-se com velocidade v = beta c, percorra 100,m antes de decair, ou seja,
v,tlab = beta c,(gamma,tau) >= 100,m

Passo 3

Substituindo tlab = gamma,tau e rearranjando, obtemos
beta,gamma,c,tau = betaraiz1-beta^2,c,tau >= 100,m

Passo 4

Sabendo que ctau = (3times10^8,m/s)(10^-7,s) = 30,m, temos
betaraiz1-beta^2 >= 10030 = 3.3333

Passo 5

Elevando ao quadrado,
beta^21-beta^2 = (3.3333)^2 approx 11.1111,

Passo 6

de onde
beta^2 (1 + 11.1111) = 11.1111 Rightarrow beta^2 = 11.111112.1111 approx 0.9176,

Passo 7

portanto
beta = raiz0.9176 approx 0.958

Passo 8

Assim, a velocidade necessária é
v = beta c approx 0.958,c approx 2.87times10^8,m/s

Resposta

v \approx 0.958,c \approx 2.87\times10^8,\mathrm{m/s}

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