Utilizando a T.L. deduza a fórmula de adição de velocidade para o caso de velocidade paralela e transversal ao movimento relativo entre referenciais.

Passo 1

A questão pede para deduzirmos, usando a Teoria da Relatividade restrita, como somar velocidades quando um referencial S′ desliza em velocidade u ao longo do eixo x de um referencial S — ou seja, obter as fórmulas para a componente paralela e para as transversais.

Passo 2

Começamos lembrando a transformação de Lorentz unidimensional entre S e S′. Se um evento tem coordenadas (x,y,z,t) em S, em S′ temos
x'=gamma,(x - ut)e t'=gamma,l(t - tfracu,xc^2r),
com y'=y, z'=z e gamma=1/raiz1-u^2/c^2.

Passo 3

Definimos a velocidade de uma partícula em S como vx=tfracdxdt, e em S′ como vx'=tfracdx'dt'. Vamos calcular
vx'=dx'dt'=gamma,(dx - u,dt)gamma,l(dt - tfracu,dxc^2r)=dx - u,dtdt - tfracu,dxc^2

Passo 4

Dividindo numerador e denominador por dt (e lembrando vx=dx/dt), obtemos
$$v_x

Resposta

Para um referencial S′ movendo-se em velocidade u ao longo de x de S, as componentes da velocidade de uma partícula transformam-se como
Componente paralela:
vx'=vx - u1 - tfracu,vxc^2
Componentes transversais:
vy'=vygamma,l(1-tfracu,vxc^2r)e vz'=vzgamma,l(1-tfracu,vxc^2r)\ndesde que gamma=1/raiz1-u^2/c^2.

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