Uma certa partícula de massa
está sofrendo a ação de 3 forças distintâe
e
que variam com o tempo:
Essa partícula parte da posição inicial
, com velocidade inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! Temos uma partícula com massa de $ m = 3,50 , kg $ que está sendo influenciada por três forças diferentes que variam com o tempo: $ \vec{F}_1(t) $, $ \vec{F}_2(t) $ e $ \vec{F}_3(t) $. A partícula começa na posição inicial $ \vec{r}_i = 1,50 , m , \hat{\imath} - 3,00 , m , \hat{\jmath} $ e com uma velocidade inicial $ \vec{v}_i = -20,0 , m/s , \hat{\imath} + 17,5 , m/s , \hat{\jmath} $. Nosso objetivo aqui vai ser descobrir como a posição e a velocidade da partícula mudam com o tempo, usando os conceitos de força, massa e movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante $ \vec{F}_{resultante} $ aplicada em uma partícula é igual ao produto da massa $ m $ pela aceleração $ \vec{a} $:
Então, para encontrar a aceleração da partícula, precisamos somar as três forças que atuam nela.
Passo 3
Vamos somar as forças $ \vec{F}_1(t) $, $ \vec{F}_2(t) $ e $ \vec{F}_3(t) $ componente por componente (isto é, separar nas direções $ \hat{\imath} $ e $ \hat{\jmath} $):
Calculando cada componente:
Para $ \hat{\imath} $:
Simplificando:
Para $ \hat{\jmath} $:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a força resultante em cada direção, podemos encontrar a aceleração usando a segunda lei de Newton rearranjada:
Vamos calcular cada componente da aceleração:
Para $ \hat{\imath} $:
Para $ \hat{\jmath} $:
Passo 5
Agora, para encontrar a velocidade da partícula em função do tempo, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. Isso porque a aceleração é a derivada da velocidade.
A velocidade inicial $ \vec{v}_i $ é dada, então a velocidade em qualquer tempo $ t $ será:
Vamos integrar cada componente da aceleração:
Para $ a_x(t) $:
Calculando as integrais:
Sabemos que em $ t = 0 $, $ v_x(0) = -20,0 , m/s $. Então:
Então:
Para $ a_y(t) $:
Usando a condição inicial $ v_y(0) = 17,5 , m/s $:
Então:
Passo 6
Da mesma forma, para encontrar a posição da partícula em função do tempo, integramos a velocidade. A posição inicial $ \vec{r}_i $ é dada, então:
Vamos integrar cada componente da velocidade:
Para $ v_x(t) $:
Usando a condição inicial $ x(0) = 1,50 , m $:
Então:
Para $ v_y(t) $:
Usando a condição inicial $ y(0) = -3,00 , m $:
Então:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é dada por:
E a velocidade da partícula em função do tempo é: