Uma certa partícula de massa m=3,50 kg está sofrendo a ação de 3 forças distintâe
F1, F2 e F3 que variam com o tempo:
F1(t)=(-1,50 Ns^-2 cdot t^2+4,00 N) i-(5,00 N) jmath F2(t)=(-7,50 Ns^-1 cdot t-5,00 N) i+(12,5 Ns^-1 cdot t-2,50 N) jmath F3(t)=(15,0 Ns^-1 cdot t-8,00 N) imath+(-3,50 Ns^-1 cdot t) jmath
Essa partícula parte da posição inicial ri=1,50 m imath-3,00 m jmath, com velocidade inicial vi= -20,0 m s^-1 imath+17,5 m s^-1 jmath.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! Temos uma partícula com massa de $ m = 3,50 , kg $ que está sendo influenciada por três forças diferentes que variam com o tempo: $ \vec{F}_1(t) $, $ \vec{F}_2(t) $ e $ \vec{F}_3(t) $. A partícula começa na posição inicial $ \vec{r}_i = 1,50 , m , \hat{\imath} - 3,00 , m , \hat{\jmath} $ e com uma velocidade inicial $ \vec{v}_i = -20,0 , m/s , \hat{\imath} + 17,5 , m/s , \hat{\jmath} $. Nosso objetivo aqui vai ser descobrir como a posição e a velocidade da partícula mudam com o tempo, usando os conceitos de força, massa e movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante $ \vec{F}_{resultante} $ aplicada em uma partícula é igual ao produto da massa $ m $ pela aceleração $ \vec{a} $:
Fresu
Então, para encontrar a aceleração da partícula, precisamos somar as três forças que atuam nela.

Passo 3

Vamos somar as forças $ \vec{F}_1(t) $, $ \vec{F}_2(t) $ e $ \vec{F}_3(t) $ componente por componente (isto é, separar nas direções $ \hat{\imath} $ e $ \hat{\jmath} $):
F1(t)
Calculando cada componente:
Para $ \hat{\imath} $:
F2(t)
Simplificando:
F3(t)
imath
Para $ \hat{\jmath} $:
jmath
Simplificando:
Fresu
imath

Passo 4

Agora que temos a força resultante em cada direção, podemos encontrar a aceleração usando a segunda lei de Newton rearranjada:
a(t) = Fresu
Vamos calcular cada componente da aceleração:
Para $ \hat{\imath} $:
imath
Para $ \hat{\jmath} $:
ax(t) = -1,50 , t^2 + 7,50 , t - 9,003,50 = -0,4286 , t^2 + 2,1429 , t - 2,5714 , m/s^2

Passo 5

Agora, para encontrar a velocidade da partícula em função do tempo, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. Isso porque a aceleração é a derivada da velocidade.
A velocidade inicial $ \vec{v}_i $ é dada, então a velocidade em qualquer tempo $ t $ será:
vi
Vamos integrar cada componente da aceleração:
Para $ a_x(t) $:
t
v(t) = vi + integral a(t) , dt
Calculando as integrais:
ax(t)
Sabemos que em $ t = 0 $, $ v_x(0) = -20,0 , m/s $. Então:
vx(t) = -0,4286 integral t^2 , dt + 2,1429 integral t , dt - 2,5714 integral dt + Cx
Então:
vx(t) = -0,4286 cdot t^33 + 2,1429 cdot t^22 - 2,5714 cdot t + Cx
Para $ a_y(t) $:
vx(t) = -0,1429 , t^3 + 1,0714 , t^2 - 2,5714 , t + Cx
t = 0
vx(0) = -20,0 , m/s
Usando a condição inicial $ v_y(0) = 17,5 , m/s $:
-20,0 = -0,1429 cdot 0 + 1,0714 cdot 0 - 2,5714 cdot 0 + Cx Rightarrow Cx = -20,0
Então:
vx(t) = -0,1429 , t^3 + 1,0714 , t^2 - 2,5714 , t - 20,0 , m/s

Passo 6

Da mesma forma, para encontrar a posição da partícula em função do tempo, integramos a velocidade. A posição inicial $ \vec{r}_i $ é dada, então:
ri
Vamos integrar cada componente da velocidade:
Para $ v_x(t) $:
r(t) = ri + integral v(t) , dt
vx(t)
x(t) = integral ( -0,1429 , t^3 + 1,0714 , t^2 - 2,5714 , t - 20,0 ) dt + Cx'
Usando a condição inicial $ x(0) = 1,50 , m $:
x(t) = -0,1429 cdot t^44 + 1,0714 cdot t^33 - 2,5714 cdot t^22 - 20,0 , t + Cx'
Então:
x(t) = -0,0357 , t^4 + 0,3571 , t^3 - 1,2857 , t^2 - 20,0 , t + Cx'
Para $ v_y(t) $:
x(0) = 1,50 , m
1,50 = -0,0357 cdot 0 + 0,3571 cdot 0 - 1,2857 cdot 0 - 20,0 cdot 0 + Cx' Rightarrow Cx' = 1,50
x(t) = -0,0357 , t^4 + 0,3571 , t^3 - 1,2857 , t^2 - 20,0 , t + 1,50 , m
Usando a condição inicial $ y(0) = -3,00 , m $:
vy(t)
Então:
y(t) = integral ( -2,1429 , t + 1,2857 , t^2 + 17,5 ) dt + Cy'

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é dada por:
r(t) = ( -0,0357 , t^4 + 0,3571 , t^3 - 1,2857 , t^2 - 20,0 , t + 1,50 ) imath + ( -1,0714 , t^2 + 0,4286 , t^3 + 17,5 , t - 3,00 ) jmath , m
E a velocidade da partícula em função do tempo é:
v(t) = ( -0,1429 , t^3 + 1,0714 , t^2 - 2,5714 , t - 20,0 ) imath + ( -2,1429 , t + 1,2857 , t^2 + 17,5 ) jmath , m/s

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