Uma certa partícula de massa m=2,50 kg está sofrendo a ação de 3 forças distintas F1, F2 e F3 que variam com o tempo:
F1(t)=(-1,50 N s^-2 cdot t^2+4,00 N) imath-(5,00 N) jmath F2(t)=(-7,50 Ns^-1 cdot t-5,00 N) imath+(12,5 Ns^-1 cdot t-2,50 N) jmath F3(t)=(15,0 Ns^-1 cdot t-8,00 N) imath+(-3,50 Ns^-1 cdot t) jmath
Essa partícula parte da posição inicial ri=1,50 m imath-3,00 m jmath, com velocidade inicial vi= -20,0 m s^-1 imath+17,5 m s^-1 jmath.
Encontre a aceleração da partícula em função do tempo. Escreva na forma vetorial

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa de $ m = 2,50 , kg $ que está sendo puxada por três forças diferentes que mudam com o tempo: $ \vec{F}_1(t) $, $ \vec{F}_2(t) $ e $ \vec{F}_3(t) $. A pergunta é para encontrar a aceleração dessa partícula em função do tempo, e expressar isso na forma vetorial.
Para resolver isso, vamos usar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante que age sobre um objeto é igual à massa desse objeto multiplicada pela sua aceleração:
m = 2,50 , kg
Então, nosso objetivo é somar todas as forças para encontrar a força resultante e, daí, calcular a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as componentes $ \hat{\imath} $ (horizontal) das três forças:
imath
Substituindo os valores:
Fx(t) = F1x(t) + F2x(t) + F3x(t)
Simplificando:
Fx(t) = (-1,50 , N s^-2 cdot t^2 + 4,00 , N) + (-7,50 , N s^-1 cdot t - 5,00 , N) + (15,0 , N s^-1 cdot t - 8,00 , N)
Fx(t) = -1,50 , t^2 + 4,00 - 7,50 , t - 5,00 + 15,0 , t - 8,00
Fx(t) = -1,50 , t^2 + ( -7,50 , t + 15,0 , t ) + (4,00 - 5,00 - 8,00)

Passo 3

Agora, vamos somar as componentes $ \hat{\jmath} $ (vertical) das três forças:
jmath
Substituindo os valores:
Fy(t) = F1y(t) + F2y(t) + F3y(t)
Simplificando:
Fy(t) = (-5,00 , N) + (12,5 , N s^-1 cdot t - 2,50 , N) + (-3,50 , N s^-1 cdot t)
Fy(t) = -5,00 + 12,5 , t - 2,50 - 3,50 , t
Fy(t) = (12,5 , t - 3,50 , t) + (-5,00 - 2,50)

Passo 4

Agora temos a força resultante $ \vec{F}(t) $ em função do tempo:
F(t)

Passo 5

Para encontrar a aceleração $ \vec{a}(t) $, usamos a Segunda Lei de Newton rearranjada:
a(t)
Substituindo os valores:
a(t) = F(t)m
Simplificando cada componente:
a(t) = (-1,50 , t^2 + 7,50 , t - 9,00) , imath + (9,00 , t - 7,50) , jmath2,50
ax(t) = -1,50 , t^2 + 7,50 , t - 9,002,50 = -0,60 , t^2 + 3,00 , t - 3,60 , m/s^2

Resposta

A aceleração da partícula em função do tempo é:
a(t) = (-0,60 , t^2 + 3,00 , t - 3,60) , imath + (3,60 , t - 3,00) , jmath , m/s^2

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