Considere uma estrada com inclinação lateral fazendo um ângulo beta com a horizontal. A estrada está fazendo uma curva com raio R. Um carro de massa m está entrando nessa curva, e o coeficiente de atrito estático entre os pneus do carro e a estrada é mus. Calcule em função de m, g, R, mus e beta :
(Desenhe um diagrama de corpo livre para o carro em cada uma das situações abaixo.)
a velocidade mínima para que o carro não deslize descendo o plano inclinado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma estrada inclinada formando um ângulo beta com a horizontal e fazendo uma curva com raio R. Um carro de massa m está entrando nessa curva, e o atrito estático entre os pneus e a estrada é mus. A gente precisa calcular a velocidade mínima para que o carro não deslize descendo esse plano inclinado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de forças em movimento circular e atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças atuando no carro. Como estamos em uma curva inclinada, temos duas forças principais: a força gravitacional ( mg) puxando o carro para baixo e a força de atrito que pode impedir o deslizamento. Também precisamos considerar a força centrípeta necessária para o carro fazer a curva.

Passo 3

Vamos decompor a força gravitacional em duas componentes: uma paralela à inclinação ( mg sinbeta) e outra perpendicular à inclinação ( mg cosbeta). A força perpendicular é equilibrada pela força normal ( N) da estrada sobre o carro.

Passo 4

A força de atrito máximo que pode agir sobre o carro é dada por fatrito = mus N. Substituindo N por mg cosbeta, temos fatrito = mus mg cosbeta.

Passo 5

Para que o carro não deslize para baixo, a força de atrito deve ser igual ou maior que a componente da gravidade paralela à inclinação. Assim:
mus mg cosbeta >= mg sinbeta

Passo 6

Cancelando mg dos dois lados da desigualdade:
mus cosbeta >= sinbeta

Passo 7

Agora, vamos incluir a força centrípeta necessária para o movimento circular. A força centrípeta é dada por:
Fc = mv^2R
Essa força deve ser fornecida pela componente da força de atrito e a componente horizontal da força normal.

Passo 8

Considerando todas as forças, podemos montar a equação:
mv^2R = mg sinbeta + mus mg cosbeta

Passo 9

Isolando v^2:
v^2 = R g (sinbeta + mus cosbeta)

Passo 10

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar a velocidade mínima:
v = raizR g (sinbeta + mus cosbeta)

Resposta

A velocidade mínima para que o carro não deslize descendo o plano inclinado é:
v = raizR g (sinbeta + mus cosbeta)

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