Considere a região plana limitada pela reta y=3 x-2, o eixo x e as retas x=1 e x=4.
Calcule sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região limitada pela reta $ y = 3x - 2 $, pelo eixo $ x $ (que é a linha onde $ y = 0 $), e pelas retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 4 $. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente a integração para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que está sendo pedido. Queremos a área entre a reta $ y = 3x - 2 $ e o eixo $ x $, entre $ x = 1 $ e $ x = 4 $. Visualizando isso, a reta corta o eixo $ x $ em algum ponto, mas como vamos integrar entre $ x = 1 $ e $ x = 4 $, precisamos verificar se a reta está acima ou abaixo do eixo $ x $ nesse intervalo.

Passo 3

Vamos encontrar onde a reta $ y = 3x - 2 $ cruza o eixo $ x $ (ou seja, onde $ y = 0 $):
y = 3x - 2
x
y = 0
Isso significa que para $ x > \frac{2}{3} $, a reta está acima do eixo $ x $. Como nosso intervalo é de $ 1 $ a $ 4 $, toda a região considerada está acima do eixo $ x $.

Passo 4

Agora, para encontrar a área dessa região, usamos a integral definida da função $ y = 3x - 2 $ de $ x = 1 $ a $ x = 4 $. A fórmula para a área $ A $ é:
y = 3x - 2

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos a função $ 3x - 2 $:
3x - 2
Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com a constante $ C $. Agora, aplicamos os limites de integração de $ 1 $ a $ 4 $:
integral (3x - 2) , dx = 32x^2 - 2x + C

Passo 6

Vamos calcular primeiro para $ x = 4 $:
x = 4
Agora, para $ x = 1 $:
32(4)^2 - 2(4) = 32(16) - 8 = 24 - 8 = 16

Passo 7

Subtraímos o valor em $ x = 1 $ do valor em $ x = 4 $:
x = 1

Resposta

A área da região limitada pela reta $ y = 3x - 2 $, pelo eixo $ x $, e pelas retas $ x = 1 $ e $ x = 4 $ é 16,5 unidades de área.

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