Certa peça de plástico de 10 cm^3 é considerada defeituosa se aparecerem 2 ou mais defeitos. Os defeitos podem ser por impurezas ou por bolhas. Em média aparecem 0,005 impurezas por 1 cm^3 e 0,3 bolhas por 2 cm^3.
a) Qual é a probabilidade de um peça ser considerada defeituosa? (R.: 0,4589 )
b) Em um grupo de 3 peças qual é a probabilidade de haver no máximo uma peça defeituosa? (R.: 0,5615 )
c) O custo de produção por peça é de , sendo que, se a peça é considerada defeituosa, ela volta para ser transformada em matéria prima, caso contrário é vendida por , sendo que, se a peça é considerada defeituosa, ela vo.
c. 1 Qual é o valor esperado do lucro para este tipo de peça? (R.: $0,411)
c. 2 Em 1500 peças produzidas qual é o lucro esperado? (R.: 10 )

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos uma peça de plástico com volume de 10 cm³ que é considerada defeituosa se aparecerem 2 ou mais defeitos (impurezas ou bolhas). Vamos modelar a contagem de cada tipo de defeito por variáveis de Poisson e usar, depois, distribuição binomial para o grupo de 3 peças e valor esperado para o lucro.

Passo 2

Cálculo dos parâmetros de Poisson: a taxa média de impurezas é 0,005 por cm³, logo lambda1=10times0,005=0,05. A taxa média de bolhas é 0,3 por 2 cm³, ou seja 0,15 por cm³, dando lambda2=10times0,15=1,5. Como as contagens são independentes, o total Z=X+Y é Poisson com lambda=lambda1+lambda2=1,55.

Passo 3

Cálculo da probabilidade de defeito (a): queremos P(Z>=2)=1-P(Z<=1)=1-l(e^-1,55(1+1,55)r). Fazendo as contas, cai em aproximadamente 0,4589.

Passo 4

Cálculo da probabilidade em 3 peças (b): o número de peças defeituosas W segue Binomial(n=3,p=0,4589). Então P(W<=1)= (1-p)^3 + 3p(1-p)^2, que dá cerca de 0,5615.

Passo 5

Valor esperado do lucro por peça (c.1): se a peça não é defeituosa, o lucro é 10-5=5 dólares; se é defeituosa, o lucro é -5. Logo E(L)=0,541cdot5 + 0,459cdot(-5)approx0,411

Passo 6

Lucro esperado em 1500 peças (c.2): pela linearidade, basta multiplicar: 1500times0,411approx616,5 dólares.

Resposta

a) 0,4589; b) 0,5615; c.1) $0,411; c.2) $616,5

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