Uma operadora de pedágios está preocupada com o dimensionamento de uma de suas praças. Muitos motoristas estão reclamando das filas, pois há apenas duas gôndolas operando todo o tempo. Estudos mostraram que em média 4 carros chegam na praça de pedágio a cada 15 minutos.
a) Qual é a probabilidade de que mais de 2 carros cheguem à praça em 30 minutos? (R.: 0,9862 )
b) Qual é a probabilidade de que cheguem até 2 carros em um período de uma hora? (R.: 0,000016318)
c) Você recomenda que a empresa aumente o número de gôndolas? Por quê?

Passo 1

O enunciado diz que as chegadas de carros formam um processo de Poisson com média de 4 carros a cada 15 minutos. Vamos usar a distribuição de Poisson, cuja função massa de probabilidade é
P(N(t)=k)=e^-lambdat,lambdat^kk!
onde lambdat é a média de eventos no intervalo de tempo considerado.

Passo 2

Para o período de 30 minutos temos lambda30=2times4=8. Queremos a probabilidade de chegarem mais de 2 carros:
P(N>2)=1-sumk=0^2e^-88^kk!
Calculando:
sumk=0^2e^-88^kk!=e^-8l(1+8+tfrac8^22!r)=e^-8cdot41approx0,013758
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P(N>2)approx1-0,013758=0,986242approx0,9862

Passo 3

Para o período de 1 hora temos lambda60=(60/15)times4=16. Queremos a probabilidade de chegarem até 2 carros:
P(N<=2)=sumk=0^2e^-1616^kk!
Calculando:
sumk=0^2e^-1616^kk!=e^-16l(1+16+tfrac16^22!r)=e^-16cdot145approx1,6316times10^-5
Portanto
P(N<=2)approx0,000016318

Passo 4

Como a probabilidade de mais de 2 carros em 30 minutos é muito alta (cerca de 98,6%) e em 1 hora é quase certo que haverá mais de 2 chegadas, duas gôndolas não dão conta do fluxo. Recomendo aumentar o número de gôndolas para reduzir filas e tempos de espera.

Resposta

a) 0,9862
b) 0,000016318
c) Recomendo aumentar o número de gôndolas porque, com apenas duas, a probabilidade de formação de filas longas é muito grande diante da taxa média de chegada de carros.

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