Um componente eletrônico de alta qualidade apresenta uma probabilidade de falha de cerca de 0,00001 . Certo comprador resolve avaliar um lote, para decidir ou não por uma grande compra. Se dois ou mais componentes do lote apresentarem defeito o negócio não será realizado. Calcule a probabilidade de realizar o negócio, de acordo com as condições abaixo.
O lote tem 200 peças.

Passo 1

Temos um componente com probabilidade de falha p = 0,00001 e um lote de n = 200 peças. Queremos a probabilidade de fechar o negócio, ou seja, que haja no máximo um defeito, pois duas ou mais peças defeituosas fazem o negócio não ser realizado. Esse é um problema de distribuição binomial.

Passo 2

Modelamos X, o número de componentes defeituosos no lote, como X sim Binomial(n=200,,p=10^-5). A probabilidade de fechar o negócio é P(X <= 1).

Passo 3

Para calcular P(X <= 1), usamos a definição de distribuição binomial e somamos P(X=0) e P(X=1). A fórmula geral é:
P(X=k) = binomnk,p^k,(1-p)^n-k

Passo 4

Aplicando para k=0 e k=1, obtemos:
P(X<=1) = (1-p)^n + n,p,(1-p)^n-1

Passo 5

Substituindo n=200 e p=10^-5,
P = (1-10^-5)^200 + 200cdot10^-5(1-10^-5)^199

Passo 6

Para avaliação numérica, como p é muito pequeno, podemos aproximar (1-p)^200approx e^-200p = e^-0,002 approx 0,998002 e 200p(1-p)^199approx 0,001996. Assim,
P approx 0,998002 + 0,001996 = 0,999998

Resposta

A probabilidade de realizar o negócio é P = (1 - 10^-5)^200 + 200 cdot 10^-5(1 - 10^-5)^199 approx 0,999998.

Exercícios relacionados