Numa certa população, 5 % dos homens e 2 % das mulheres apresentam um distúrbio gástrico. Nessa população, 55 % das pessoas são mulheres. Escolhida uma pessoa ao acaso dessa população descobre-se que apresenta o distúrbio. Qual a probabilidade de que seja do sexo masculino?

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma população onde 5% dos homens e 2% das mulheres têm um distúrbio gástrico. Além disso, 55% da população são mulheres. O objetivo é descobrir qual a probabilidade de uma pessoa com o distúrbio ser do sexo masculino. Para resolver isso, vamos usar probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que precisamos calcular a probabilidade geral de alguém ter o distúrbio gástrico nessa população. Essa probabilidade geral leva em conta tanto os homens quanto as mulheres.
A fórmula para a probabilidade geral é:
P(Distúrbio) = P(Distúrbio|Homem) times P(Homem) + P(Distúrbio|Mulher) times P(Mulher) úúú
Sabemos que:
  • $ P(Distúrbio|Homem) = 5% = 0{,}05 $
  • $ P(Distúrbio|Mulher) = 2% = 0{,}02 $
  • $ P(Mulher) = 55% = 0{,}55 $
Como 55% são mulheres, então 45% são homens:
  • $ P(Homem) = 100% - 55% = 45% = 0{,}45 $

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade geral:
P(Distúrbio) = 0,05 times 0,45 + 0,02 times 0,55 ú
Fazendo as contas:
0,05 times 0,45 = 0,0225
0,02 times 0,55 = 0,011
Somando os dois resultados:
P(Distúrbio) = 0,0225 + 0,011 = 0,0335 (ou seja, 3,35%) ú

Passo 4

Agora, vamos usar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de que uma pessoa com o distúrbio seja do sexo masculino. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(Homem|Distúrbio) = P(Distúrbio|Homem) times P(Homem)P(Distúrbio) úúú
Substituindo os valores que já calculamos:
P(Homem|Distúrbio) = 0,05 times 0,450,0335 = 0,02250,0335 approx 0,6716 ú

Resposta

A probabilidade de que a pessoa seja do sexo masculino, dado que ela apresenta o distúrbio gástrico, é aproximadamente 67,16%.

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