Numa certa população,
dos homens e
das mulheres apresentam um distúrbio gástrico. Nessa população,
das pessoas são mulheres. Escolhida uma pessoa ao acaso dessa população descobre-se que apresenta o distúrbio. Qual a probabilidade de que seja do sexo masculino?
Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma população onde 5% dos homens e 2% das mulheres têm um distúrbio gástrico. Além disso, 55% da população são mulheres. O objetivo é descobrir qual a probabilidade de uma pessoa com o distúrbio ser do sexo masculino. Para resolver isso, vamos usar probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que precisamos calcular a probabilidade geral de alguém ter o distúrbio gástrico nessa população. Essa probabilidade geral leva em conta tanto os homens quanto as mulheres.
A fórmula para a probabilidade geral é:
Sabemos que:
- $ P(Distúrbio|Homem) = 5% = 0{,}05 $
- $ P(Distúrbio|Mulher) = 2% = 0{,}02 $
- $ P(Mulher) = 55% = 0{,}55 $
Como 55% são mulheres, então 45% são homens:
- $ P(Homem) = 100% - 55% = 45% = 0{,}45 $
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade geral:
Fazendo as contas:
Somando os dois resultados:
Passo 4
Agora, vamos usar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de que uma pessoa com o distúrbio seja do sexo masculino. A fórmula do Teorema de Bayes é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Resposta
A probabilidade de que a pessoa seja do sexo masculino, dado que ela apresenta o distúrbio gástrico, é aproximadamente 67,16%.