Uma moeda é viciada de tal modo que a probabilidade de sair cara é duas vezes maior do que a de sair coroa. Se a moeda for lançada 3 vezes qual a probabilidade de sairem exactamente duas coroas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre uma moeda viciada onde a probabilidade de sair “cara” é duas vezes maior que a de sair “coroa”. A gente precisa calcular a chance de, ao lançar essa moeda 3 vezes, obter exatamente 2 coroas. Para resolver isso, vamos usar um pouco de probabilidade básica e combinatória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades individuais. Sabemos que a probabilidade de sair cara (P(cara)) é duas vezes a de sair coroa (P(coroa)). Vamos chamar a probabilidade de sair coroa de “p”. Assim:
P(cara) = 2p
P(coroa) = p
Como todas as probabilidades devem somar 1, temos:
2p + p = 1
3p = 1
p = 1/3
Então, P(coroa) = 1/3 e P(cara) = 2/3.

Passo 3

Agora, queremos a probabilidade de obter exatamente 2 coroas em 3 lançamentos. Isso é um caso de distribuição binomial, onde usamos a fórmula:
P(X = k) = binomnk times (P(coroa))^k times (P(cara))^n-k
Aqui, $ n = 3 $ (número de lançamentos), $ k = 2 $ (número de coroas que queremos), $ P(coroa) = 1/3 $ e $ P(cara) = 2/3 $.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{3}{2} $, que representa o número de maneiras de escolher 2 coroas em 3 lançamentos:
binom32

Passo 5

Agora, aplicamos os valores na fórmula:
P(X = 2) = 3 times (13)^2 times (23)^1 = 3 times 19 times 23

Passo 6

Fazendo as contas:
3 times 19 = 39 = 13 13 times 23 = 29

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 2 coroas em 3 lançamentos é 29.

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