Uma companhia de petróleo resolveu testar uma produção de gasolina com novas formulações que não contém chumbo. Uma característica de qualidade importante da gasolina é a octanagem. Foi realizado um experimento no qual 10 medições da octanagem foram obtidas para uma das novas formulações e os resultados foram uma média de 85,50 com desvio padrão de 1,12 . A formulação original apresenta média de 85,30 e desvio padrão 1,28. Admita que os dados correspondentes a cada uma das formulações seguem distribuições normais.
a) É possível afirmar, ao nível de significância de 1%, que a variabilidade da octanagem da nova formulação se manteve igual a da fórmula original?
b) É possível afirmar que a média de octanagem na nova fórmula testada se manteve igual a da formulação original, ao nível de significância de 5 \% ?

Passo 1

O enunciado pede dois testes de hipótese assumindo normalidade dos dados da octanagem. Para a nova fórmula temos n=10, média amostral \bar x=85,50 e desvio padrão amostral s=1,12. A formulação original apresenta média populacional \mu_0=85,30 e desvio padrão populacional \sigma_0=1,28.
a) Testaremos se a variância da nova fórmula se mantém igual à original usando o teste qui-quadrado.
b) Testaremos se a média da nova fórmula se mantém igual à original usando o teste t para média.

Passo 2

Para comparar variâncias definimos
H_0:\sigma^2=\sigma_0^2=(1,28)^2, \quad H_1:\sigma^2\neq\sigma_0^2
e usamos a estatística
\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{9 \times (1,12)^2}{(1,28)^2} = \frac{9 \times 1,2544}{1,6384} \approx 6,89.
Com \alpha=0{,}01 em duas caudas, os pontos críticos são
\chi^2_{9,\,0,005}=1,735 e \chi^2_{9,\,0,995}=23,589.
Como
1,735 < 6,89 < 23,589,
não rejeitamos H_0. Logo, ao nível de 1\%, não há evidência de mudança na variabilidade.

Passo 3

Para a média colocamos
H_0:\mu=\mu_0=85,30, \quad H_1:\mu\neq85,30
e a estatística
t = \frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{85,50 - 85,30}{1,12/\sqrt{10}} \approx \frac{0,20}{0,354} \approx 0,57.
Com \alpha=0{,}05 em duas caudas e 9 graus de liberdade, o valor crítico é t_{9,\,0,975}=2,262. Como \lvert 0,57\rvert < 2,262, não rejeitamos H_0. Logo, ao nível de 5\%, não há evidência de mudança na média.

Resposta

a) Ao nível de 1\%, não rejeitamos a igualdade das variâncias, isto é, a variabilidade manteve-se igual.
b) Ao nível de 5\%, não rejeitamos a igualdade das médias, isto é, a média manteve-se igual.

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