Certa questão de um teste de múltipla escolha é respondida corretamente com probabilidade 0.9 por um estudante que se preparou para o teste. Um estudante que não se preparou chuta qualquer uma das 4 alternativas, então sua probabilidade de acerto é 1 / 4. Sabe-se que que 70 \% dos estudantes se prepararam para o teste. Se o estudante Fulano de Tal acertou a questão, qual a probabilidade dele não ter se preparado para o teste?

Passo 1

O enunciado diz que um estudante que se preparou acerta uma questão com probabilidade \,0,9, enquanto um estudante que não se preparou chuta entre 4 alternativas, acertando com probabilidade \tfrac{1}{4}. Sabe-se também que 70\% dos estudantes se prepararam. Pergunta: dado que Fulano acertou, qual a probabilidade de ele não ter se preparado? Vamos usar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Definimos os eventos:
P = \text{“estudante se preparou”},\quad NP = \text{“não se preparou”},\quad A = \text{“acertou a questão”}.ãã
As probabilidades conhecidas são
P(P)=0,7,\quad P(NP)=0,3,\quad P(A\mid P)=0,9,\quad P(A\mid NP)=\tfrac{1}{4}=0,25.

Passo 3

Pelo Teorema de Bayes, queremos
P(NP\mid A) =\frac{P(A\mid NP)\,P(NP)}{P(A)}.

Passo 4

Calculamos P(A) pela regra da probabilidade total:
P(A) = P(A\mid P)\,P(P) \;+\; P(A\mid NP)\,P(NP) =0,9\cdot0,7 \;+\; 0,25\cdot0,3 =0,63 + 0,075 =0,705.

Passo 5

Agora substituímos em Bayes:
P(NP\mid A) =\frac{0,25\cdot0,3}{0,705} =\frac{0,075}{0,705} \approx0,106383.

Resposta

A probabilidade de Fulano não ter se preparado, dado que ele acertou, é aproximadamente 0,1064 (isto é, 10{,}64\%).

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