Há três cabos de conexão internet conectando o ponto A ao B e dois conectando o ponto B ao ponto C . Durante o horário de pico, cada cabo tem 0.2 de probabilidade de falhar, independente dos demais.
a) Calcule a probabilidade de haver alguma conexão sem falha entre os pontos A e C
b) Qual seria essa probabilidade se um novo cabo, também com probabilidade de falha de 0.2 , fosse instalado entre A e B ?
c) E se esse novo cabo fosse instalado entre B e C ?
d) E se fosse diretamente entre A e C ?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de comunicação com dois “trechos” em série: de A a B há três cabos em paralelo e de B a C há dois cabos em paralelo. Cada cabo falha com probabilidade 0.2 independentemente. Para que exista conexão entre A e C precisamos que pelo menos um cabo funcione em A–B e pelo menos um em B–C. Usaremos a fórmula de confiabilidade de componentes em paralelo e, em seguida, produto para trechos em série.

Passo 2

Calcular a confiabilidade do trecho A–B, isto é, a probabilidade de que pelo menos um dos três cabos funcione. Se cada cabo falha com probabilidade 0.2, a probabilidade de todos falharem é (0.2)^3. Logo,
R_{AB} = 1 - (0.2)^3 = 1 - 0.008 = 0.992.

Passo 3

Calcular a confiabilidade do trecho B–C, com dois cabos em paralelo. A probabilidade de ambos falharem é (0.2)^2 = 0.04. Assim,
R_{BC} = 1 - 0.04 = 0.96.

Passo 4

Como A–B e B–C estão em série, a confiabilidade total para ir de A a C é
R_{AC} = R_{AB}\times R_{BC} = 0.992 \times 0.96 = 0.95232.

Passo 5

Para (b), adicionamos um novo cabo entre A e B, totalizando quatro cabos em paralelo em A–B. A probabilidade de todos falharem passa a ser (0.2)^4 = 0.0016. Assim,
R_{AB}' = 1 - 0.0016 = 0.9984.

Passo 6

O trecho B–C continua com confiabilidade 0.96. Então a nova confiabilidade de A–C é
R_{AC}' = R_{AB}' \times R_{BC} = 0.9984 \times 0.96 = 0.958464.

Passo 7

Para (c), o novo cabo é instalado em B–C, ficando três cabos em paralelo nesse trecho. A probabilidade de falha total em B–C é (0.2)^3=0.008, logo
R_{BC}' = 1 - 0.008 = 0.992.

Passo 8

Mantendo A–B com confiabilidade 0.992, a confiabilidade de A–C fica
R_{AC}'' = R_{AB}\times R_{BC}' = 0.992 \times 0.992 = 0.984064.

Passo 9

Para (d), instalamos um cabo direto A–C com confiabilidade 1-0.2=0.8. O sistema então tem duas “rotas” em paralelo:
– Rota direta com R_1=0.8
– Rota via B com R_2=R_{AB}\times R_{BC}=0.95232
A confiabilidade total em paralelo é
R_{AC}''' = 1 - (1-R_1)(1-R_2) = 1 - (0.2)(1-0.95232) = 1 - 0.2\times0.04768 = 1 - 0.009536 = 0.990464.

Resposta

a) 0.95232
b) 0.958464
c) 0.984064
d) 0.990464

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