Em uma certa região do espaço, o campo magnético tem componentes na direção z e na direção que aponta radialmente pra fora (ou em direção) ao eixo z. A componente z tem magnitude B_{z}=A z, onde a constante A é dada por \mathrm{A}=3,02 \mathrm{mT} / \mathrm{cm}. A componente radial depende somente de r (a distância radial com relação ao eixo z). Usando a lei de Gauss para o magnetismo, ache a intensidade da componente radial para r=1 cm. Dê sua resposta em mT.
Escolha uma opção:
A. nenhuma das outras
B. 1,51
C. 1,10
D. 0,56

Passo 1

O enunciado diz que o campo magnético em coordenadas cilíndricas tem
B_{z}(r,z)=A\,z
com A=3,02\\ \mathrm{mT/cm}, e uma componente radial B_{r}(r) que depende só de r. Precisamos usar a lei de Gauss para o magnetismo, ou seja
\nabla\!\cdot\! \mathbf{B}=0,
para encontrar B_{r}(r) e avaliar em r=1\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a divergência fica
\nabla\!\cdot\! \mathbf{B} =\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\bigl(r\,B_{r}(r)\bigr) +\frac{\partial B_{z}}{\partial z} =0.
Como B_{z}=A\,z, temos \partial B_{z}/\partial z = A. Logo
\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\bigl(r\,B_{r}(r)\bigr)+A=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\bigl(r\,B_{r}(r)\bigr)=-A\,r.

Passo 3

Integramos em r:
r\,B_{r}(r) = -\frac{A}{2}\,r^{2} + C \quad\Longrightarrow\quad B_{r}(r) = -\frac{A}{2}\,r + \frac{C}{r}.
Para que B_{r} seja finito em r=0 precisa C=0. Logo
B_{r}(r)=-\frac{A}{2}\,r.
Em r=1\\ \mathrm{cm} isso vale
B_{r}(1\\ \mathrm{cm}) =-\frac{3,02\\ \mathrm{mT/cm}}{2}\times1\\ \mathrm{cm} =-1{,}51\\ \mathrm{mT}.
A intensidade (módulo) da componente radial é 1{,}51\\ \mathrm{mT}.

Resposta

B. 1,51

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