Questão 6: Verifique se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os derivados parciais mistos de segunda ordem de
coincidem, ou seja, se
Para isso, vamos aplicar as regras de derivação parcial e usar o Teorema de Clairaut (continuidade dos segundos derivativos).
Passo 2
Calcular primeiro
.
Como é tratado como constante,
Como
Em seguida, deriva-se em
para obter
Passo 3
Agora calcula-se
.
Aqui é constante, e deriva-se
por regra do produto:
Aqui
Derivando em
para achar
Passo 4
Comparando os resultados, temos
logo os derivados mistos coincidem.
Resposta
Sim.
.