Questão 6: Verifique se u_{x y}=u_{y x}
u=x y e^{y}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os derivados parciais mistos de segunda ordem de u(x,y)=x\,y\,e^{y} coincidem, ou seja, se
u_{xy} = u_{yx}.
Para isso, vamos aplicar as regras de derivação parcial e usar o Teorema de Clairaut (continuidade dos segundos derivativos).

Passo 2

Calcular primeiro
\displaystyle u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y\,e^{y}\bigr).
Como y é tratado como constante,
u_x = y\,e^{y}.
Em seguida, deriva-se em y para obter
u_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{y}\bigr) = e^{y} + y\,e^{y} = (1+y)\,e^{y}.

Passo 3

Agora calcula-se
\displaystyle u_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y\,e^{y}\bigr).
Aqui x é constante, e deriva-se y\,e^{y} por regra do produto:
u_y = x\bigl(e^{y} + y\,e^{y}\bigr) = x\,(1+y)\,e^{y}.
Derivando em x para achar
u_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,(1+y)\,e^{y}\bigr) = (1+y)\,e^{y}.

Passo 4

Comparando os resultados, temos
u_{xy} = (1+y)\,e^{y} \quad\text{e}\quad u_{yx} = (1+y)\,e^{y},
logo os derivados mistos coincidem.

Resposta

Sim. u_{xy}=u_{yx}=(1+y)\,e^{y}.

Exercícios relacionados