Numa certa região, fósseis de pequenos animais são frequentemente encontrados e um arqueólogo estabeleceu o seguinte modelo de probabilidade para o comprimento, em centímetros, desses fósseis.
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{40} x, & 4 \leq x \leq 8 \\\\ -\frac{1}{20} x+\frac{3}{5}, & 8 \leq x \leq 10 \\\ \frac{1}{10}, & 10 \leq x \leq 11 \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.
(a) Faça um gráfico da função densidade.
(b) Para um fóssil encontrado nessa região, determine a probabilidade do comprimento ser inferior a 6 centímetros? E de ser superior a 5 mas inferior a 10.5 cm ?
(c) Encontre o valor esperado para o comprimento dos fósseis da região.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
A função densidade de probabilidade é dada por
f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{40}x, & 4 \le x \le 8,\\[6pt] -\dfrac{1}{20}x+\dfrac{3}{5}, & 8 \le x \le 10,\\[6pt] \dfrac{1}{10}, & 10 \le x \le 11,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
O enunciado pede três coisas:
(a) fazer um gráfico da função densidade;
(b) calcular duas probabilidades: \Pr(X<6) e \Pr(5<X<10{,}5);
(c) encontrar o valor esperado \mathbb{E}[X] dos comprimentos.
Observações úteis que já extraí do enunciado (valores que vamos usar no gráfico e nos cálculos):
Em x=4: f(4)=\dfrac{1}{40}\cdot 4=\dfrac{1}{10}.
Em x=8: f(8)=\dfrac{1}{40}\cdot 8=\dfrac{1}{5}. (Também verifica-se pela segunda expressão: -\tfrac{1}{20}\cdot8+\tfrac{3}{5}=-\tfrac{2}{5}+\tfrac{3}{5}=\tfrac{1}{5}.)
Em x=10: pela segunda expressão f(10)=-\tfrac{1}{20}\cdot10+\tfrac{3}{5}=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{5}=\tfrac{1}{10}.
Em x\in[10,11]: f(x)=\tfrac{1}{10} (constante).]
Passo 2
Primeiro é importante checar rapidamente que isso é de fato uma densidade válida (soma das áreas = 1). Para uma variável contínua a condição é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f é zero fora de [4,11], calculamos a integral em três pedaços.
Somando as três partes: 0{,}6+0{,}3+0{,}1=1{,}0. Portanto a função está normalizada e é uma densidade válida.
Passo 3
(a) Guia para desenhar o gráfico (o enunciado pediu o gráfico da densidade). Vou descrever os pontos e a forma para que seja fácil desenhar à mão na prova.
Pontos-chave (peguei-os da própria fórmula avaliando nos extremos dos intervalos):
\big(4,\tfrac{1}{10}\big),
\big(8,\tfrac{1}{5}\big),
\big(10,\tfrac{1}{10}\big),
\big(11,\tfrac{1}{10}\big).
Como desenhar:
No intervalo [4,8] a densidade é a reta \;f(x)=\dfrac{1}{40}x\; que é crescente e liga (4,\tfrac{1}{10}) a (8,\tfrac{1}{5}).
No intervalo [8,10] a densidade é a reta decrescente \;f(x)=-\dfrac{1}{20}x+\dfrac{3}{5}\; que liga (8,\tfrac{1}{5}) a (10,\tfrac{1}{10}).
No intervalo [10,11] a densidade é constante \;f(x)=\tfrac{1}{10}\; (segmento horizontal de x=10 até x=11).
Fora de [4,11] o gráfico fica em zero.
Dica prática para a prova: marque no eixo x os pontos 4,8,10,11, no eixo y marque 0{,}1 e 0{,}2 (isto é \tfrac{1}{10} e \tfrac{1}{5}) e conecte conforme as retas e o segmento constante descritos acima. Isso é um gráfico simples de polinômios de grau 1 e um trecho constante.
Passo 4
(b.1) Calcular \Pr(X<6).
Como 6\in[4,8], usamos a primeira expressão da densidade. A probabilidade é
Agora calculamos cada uma (explico os antiderivados que usei: \int x^{2}dx=\tfrac{x^{3}}{3}, \int x\,dx=\tfrac{x^{2}}{2}, e fatores constantes podem sair da integral).
Interpretação curta: o comprimento médio esperado é \;7{,}45 centímetros.
Resposta
(a) Gráfico: reta crescente \;f(x)=\dfrac{1}{40}x\; em [4,8] ligando \big(4,\tfrac{1}{10}\big) a \big(8,\tfrac{1}{5}\big); reta decrescente \;f(x)=-\dfrac{1}{20}x+\dfrac{3}{5}\; em [8,10] ligando \big(8,\tfrac{1}{5}\big) a \big(10,\tfrac{1}{10}\big); segmento horizontal \;f(x)=\tfrac{1}{10}\; em [10,11]; f(x)=0 fora de [4,11].