Numa certa região, fósseis de pequenos animais são frequentemente encontrados e um arqueólogo estabeleceu o seguinte modelo de probabilidade para o comprimento, em centímetros, desses fósseis.
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{40} x, & 4 \leq x \leq 8 \\\\ -\frac{1}{20} x+\frac{3}{5}, & 8 \leq x \leq 10 \\\ \frac{1}{10}, & 10 \leq x \leq 11 \\\\ 0, & \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
(a) Faça um gráfico da função densidade.
(b) Para um fóssil encontrado nessa região, determine a probabilidade do comprimento ser inferior a 6 centímetros? E de ser superior a 5 mas inferior a 10.5 cm ?
(c) Encontre o valor esperado para o comprimento dos fósseis da região.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
  • A função densidade de probabilidade é dada por
f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{40}x, & 4 \le x \le 8,\\[6pt] -\dfrac{1}{20}x+\dfrac{3}{5}, & 8 \le x \le 10,\\[6pt] \dfrac{1}{10}, & 10 \le x \le 11,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
  • O enunciado pede três coisas:
    (a) fazer um gráfico da função densidade;
    (b) calcular duas probabilidades: \Pr(X<6) e \Pr(5<X<10{,}5);
    (c) encontrar o valor esperado \mathbb{E}[X] dos comprimentos.
Observações úteis que já extraí do enunciado (valores que vamos usar no gráfico e nos cálculos):
  • Em x=4: f(4)=\dfrac{1}{40}\cdot 4=\dfrac{1}{10}.
  • Em x=8: f(8)=\dfrac{1}{40}\cdot 8=\dfrac{1}{5}. (Também verifica-se pela segunda expressão: -\tfrac{1}{20}\cdot8+\tfrac{3}{5}=-\tfrac{2}{5}+\tfrac{3}{5}=\tfrac{1}{5}.)
  • Em x=10: pela segunda expressão f(10)=-\tfrac{1}{20}\cdot10+\tfrac{3}{5}=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{5}=\tfrac{1}{10}.
  • Em x\in[10,11]: f(x)=\tfrac{1}{10} (constante).]

Passo 2

Primeiro é importante checar rapidamente que isso é de fato uma densidade válida (soma das áreas = 1). Para uma variável contínua a condição é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f é zero fora de [4,11], calculamos a integral em três pedaços.
  • Integração em [4,8]:
\int_{4}^{8} \frac{1}{40}x\,dx = \frac{1}{40}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{4}^{8} = \frac{1}{80}\big(8^{2}-4^{2}\big) = \frac{1}{80}\big(64-16\big) = \frac{48}{80} = 0,6.
  • Integração em [8,10]:
\int_{8}^{10}\!\left(-\frac{1}{20}x+\frac{3}{5}\right)dx = \left(-\frac{1}{40}x^{2}+\frac{3}{5}x\right)\Big|_{8}^{10}.
Avaliaremos:
\text{em }x=10: -\frac{1}{40}\cdot100+\frac{3}{5}\cdot10 = -\frac{100}{40}+6 = -2{,}5+6=3{,}5,
\text{em }x=8: -\frac{1}{40}\cdot64+\frac{3}{5}\cdot8 = -\frac{64}{40}+4{,}8 = -1{,}6+4{,}8=3{,}2.
Diferença: 3{,}5-3{,}2=0{,}3.
  • Integração em [10,11]:
\int_{10}^{11}\frac{1}{10}\,dx = \frac{1}{10}\cdot(11-10) = 0{,}1.
Somando as três partes: 0{,}6+0{,}3+0{,}1=1{,}0. Portanto a função está normalizada e é uma densidade válida.

Passo 3

(a) Guia para desenhar o gráfico (o enunciado pediu o gráfico da densidade). Vou descrever os pontos e a forma para que seja fácil desenhar à mão na prova.
  • Pontos-chave (peguei-os da própria fórmula avaliando nos extremos dos intervalos):
    • \big(4,\tfrac{1}{10}\big),
    • \big(8,\tfrac{1}{5}\big),
    • \big(10,\tfrac{1}{10}\big),
    • \big(11,\tfrac{1}{10}\big).
  • Como desenhar:
    • No intervalo [4,8] a densidade é a reta \;f(x)=\dfrac{1}{40}x\; que é crescente e liga (4,\tfrac{1}{10}) a (8,\tfrac{1}{5}).
    • No intervalo [8,10] a densidade é a reta decrescente \;f(x)=-\dfrac{1}{20}x+\dfrac{3}{5}\; que liga (8,\tfrac{1}{5}) a (10,\tfrac{1}{10}).
    • No intervalo [10,11] a densidade é constante \;f(x)=\tfrac{1}{10}\; (segmento horizontal de x=10 até x=11).
    • Fora de [4,11] o gráfico fica em zero.
Dica prática para a prova: marque no eixo x os pontos 4,8,10,11, no eixo y marque 0{,}1 e 0{,}2 (isto é \tfrac{1}{10} e \tfrac{1}{5}) e conecte conforme as retas e o segmento constante descritos acima. Isso é um gráfico simples de polinômios de grau 1 e um trecho constante.

Passo 4

(b.1) Calcular \Pr(X<6).
Como 6\in[4,8], usamos a primeira expressão da densidade. A probabilidade é
\Pr(X<6)=\int_{4}^{6}\frac{1}{40}x\,dx = \frac{1}{80}\big(6^{2}-4^{2}\big) = \frac{1}{80}\big(36-16\big) = \frac{20}{80}=\frac{1}{4}=0,25.
Explanação rápida: para contínuas, \Pr(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx. Aqui f é uma função simples (proporcional a x) então a integral é direta.

Passo 5

(b.2) Calcular \Pr(5<X<10{,}5).
O intervalo (5,10{,}5) cruza os três trechos da densidade: parte em [4,8], parte em [8,10] e parte em [10,11]. Assim dividimos a integral:
\Pr(5<X<10{,}5)=\int_{5}^{8}\frac{1}{40}x\,dx +\int_{8}^{10}\!\left(-\frac{1}{20}x+\frac{3}{5}\right)dx +\int_{10}^{10{,}5}\frac{1}{10}\,dx.
Calculemos cada termo:
  • Primeiro termo:
\int_{5}^{8}\frac{1}{40}x\,dx = \frac{1}{80}\big(8^{2}-5^{2}\big) = \frac{1}{80}\big(64-25\big) = \frac{39}{80} = 0,4875.
  • Segundo termo (já calculado antes para 8 a 10):
\int_{8}^{10}\!\left(-\frac{1}{20}x+\frac{3}{5}\right)dx = 0,3.
  • Terceiro termo:
\int_{10}^{10{,}5}\frac{1}{10}\,dx = \frac{1}{10}\cdot(10{,}5-10)=\frac{0{,}5}{10}=0,05.
Somando:
0,4875 + 0,3 + 0,05 = 0,8375.
Em forma de fração isso é \dfrac{67}{80}.

Passo 6

(c) Calcular o valor esperado \mathbb{E}[X].
Definição: para variável contínua com densidade f,
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Novamente a integral se reduz a [4,11] e dividimos em três partes conforme a densidade.
Escrevemos
\mathbb{E}[X]=\int_{4}^{8} x\cdot\frac{1}{40}x\,dx +\int_{8}^{10} x\!\left(-\frac{1}{20}x+\frac{3}{5}\right)dx +\int_{10}^{11} x\cdot\frac{1}{10}\,dx.
Agora calculamos cada uma (explico os antiderivados que usei: \int x^{2}dx=\tfrac{x^{3}}{3}, \int x\,dx=\tfrac{x^{2}}{2}, e fatores constantes podem sair da integral).
  • Primeiro termo:
\int_{4}^{8}\frac{1}{40}x^{2}\,dx = \frac{1}{40}\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{4}^{8} = \frac{1}{120}\big(8^{3}-4^{3}\big) = \frac{1}{120}\big(512-64\big) = \frac{448}{120}=\frac{56}{15}\approx 3{,}7333\ldots
  • Segundo termo:
\int_{8}^{10}\!\left(-\frac{1}{20}x^{2}+\frac{3}{5}x\right)dx = \left(-\frac{1}{60}x^{3}+\frac{3}{10}x^{2}\right)\Big|_{8}^{10}.
Avaliações:
\text{em }10: -\frac{1}{60}\cdot1000+\frac{3}{10}\cdot100 = -\frac{1000}{60}+30 = -\frac{50}{3}+30 = \frac{40}{3},
\text{em }8: -\frac{1}{60}\cdot512+\frac{3}{10}\cdot64 = -\frac{512}{60}+19{,}2 = -\frac{256}{30}+\frac{576}{30}=\frac{320}{30}=\frac{32}{3}.
Diferença: \dfrac{40}{3}-\dfrac{32}{3}=\dfrac{8}{3}\approx 2{,}6666\ldots
  • Terceiro termo:
\int_{10}^{11}\frac{1}{10}x\,dx = \frac{1}{10}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{10}^{11} = \frac{1}{20}\big(11^{2}-10^{2}\big) = \frac{1}{20}\big(121-100\big) = \frac{21}{20}=1{,}05.
Somando os três resultados:
\mathbb{E}[X]=\frac{56}{15}+\frac{8}{3}+\frac{21}{20}.
Colocando em denominador comum 60:
\mathbb{E}[X]=\frac{224}{60}+\frac{160}{60}+\frac{63}{60}=\frac{447}{60}=\frac{149}{20}=7{,}45.
Interpretação curta: o comprimento médio esperado é \;7{,}45 centímetros.

Resposta

(a) Gráfico: reta crescente \;f(x)=\dfrac{1}{40}x\; em [4,8] ligando \big(4,\tfrac{1}{10}\big) a \big(8,\tfrac{1}{5}\big); reta decrescente \;f(x)=-\dfrac{1}{20}x+\dfrac{3}{5}\; em [8,10] ligando \big(8,\tfrac{1}{5}\big) a \big(10,\tfrac{1}{10}\big); segmento horizontal \;f(x)=\tfrac{1}{10}\; em [10,11]; f(x)=0 fora de [4,11].
(b) \Pr(X<6)=\dfrac{1}{4}=0,25
\Pr(5<X<10{,}5)=\dfrac{67}{80}=0,8375
(c) \mathbb{E}[X]=\dfrac{149}{20}=7{,}45

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