O tempo, em minutos, de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável aleatória contínua X. Sua densidade é apresentada a seguir.
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1 / 4, & \text { se } 0 \leq x<2 \\\ 1 / 8, & \text { se } 2 \leq x \leq 6 \\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{array}\right.á
Determine:
P(1<X \leq 4).

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a probabilidade [P(1<X\leq4)) para a variável aleatória contínua X com densidade dada.
Informações fornecidas (peguei esses valores do enunciado):
  • A função densidade é
f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{4}, & \text{se } 0 \leq x<2,\\[6pt] \dfrac{1}{8}, & \text{se } 2 \leq x \leq 6,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
  • Queremos a probabilidade na faixa entre 1\] e \(4, com a desigualdade estrita à esquerda e não estrita à direita: 1<X\leq4.]

Passo 2

Conceito importante e ferramenta que vamos usar: para uma variável aleatória contínua X com densidade f(x), a probabilidade de X cair em um intervalo (a,b] é dada por
P(a<X\leq b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Nota didática: em variáveis contínuas a inclusão ou exclusão de um ponto isolado (por exemplo x=1 ou x=4) não altera a probabilidade, porque P(X=1)=0 e P(X=4)=0. Portanto podemos integrar normalmente de 1 a 4.

Passo 3

Como f(x) é definida por partes com mudança em x=2, precisamos separar a integral em duas partes: de 1 até 2 (onde f(x)=1/4) e de 2 até 4 (onde f(x)=1/8). Assim,
P(1<X\leq4)=\int_{1}^{4} f(x)\,dx =\int_{1}^{2} \frac{1}{4}\,dx+\int_{2}^{4} \frac{1}{8}\,dx.

Passo 4

Calcule cada integral passo a passo.
Primeira integral:
\int_{1}^{2} \frac{1}{4}\,dx=\frac{1}{4}\,(2-1)=\frac{1}{4}.
Segunda integral:
\int_{2}^{4} \frac{1}{8}\,dx=\frac{1}{8}\,(4-2)=\frac{1}{8}\cdot 2=\frac{1}{4}.

Passo 5

Some as duas contribuições:
P(1<X\leq4)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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