Em certa série de jogos, a probabilidade de que A ganhe o primeiro jogo é 1/2; em qualquer jogo subsequente, as possibilidades são de 2 para 1 a favor do vencedor precedente. O primeiro jogador que vencer quatro jogos vence a série. Qual é a probabilidade de que A ganhe em quatro jogos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma série de jogos onde o jogador A tem 50% de chance de ganhar o primeiro jogo. Depois disso, a probabilidade de ganhar muda dependendo de quem venceu o jogo anterior: o vencedor anterior tem 2 para 1 de chance de ganhar o próximo jogo. A série acaba quando um dos jogadores vence quatro jogos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a chance de o jogador A ganhar a série exatamente em quatro jogos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ganhar a série em quatro jogos. Isso quer dizer que o jogador A vence os quatro primeiros jogos seguidamente, sem que o jogador B ganhe nenhum deles. Ou seja, a sequência de vitórias seria: A ganha, A ganha, A ganha, e A ganha novamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de A vencer essa sequência de quatro jogos.
  • Primeiro jogo: A tem 1/2 de chance de ganhar.
  • Segundo jogo: Como A venceu o primeiro jogo, no segundo jogo a probabilidade de A ganhar aumenta para 2/3 (porque “as possibilidades são de 2 para 1 a favor do vencedor precedente”).
  • Terceiro jogo: Se A venceu o segundo jogo, a probabilidade de A ganhar o terceiro também é 2/3, seguindo a mesma lógica.
  • Quarto jogo: Da mesma forma, se A venceu o terceiro jogo, a probabilidade de A ganhar o quarto jogo é novamente 2/3.

Passo 4

Para encontrar a probabilidade total de A vencer os quatro jogos seguidos, multiplicamos as probabilidades de cada jogo:
12 times 23 times 23 times 23 = 12 times 827 = 854 = 427

Resposta

A probabilidade de que A ganhe a série em quatro jogos é 427.

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