Uma relação aprovada de jurados contém 20 homens e 20 mulheres. Determine a probabilidade de que, em uma escolha aleatória de 12 dessas pessoas, obtenhamos um júri composto só de homens. Nessas circunstâncias, se o acusado é condenado por tal júri, há evidência suficiente para sugerir que a escolha dos jurados não foi aleatória?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidade e combinatória. Temos uma relação de jurados com 20 homens e 20 mulheres, totalizando 40 pessoas. Queremos descobrir a chance de, ao escolhermos 12 jurados de forma aleatória, todos eles serem homens. Além disso, vamos analisar se, se isso acontecer e o acusado for condenado por esse júri só de homens, há motivos para pensar que a seleção dos jurados não foi realmente aleatória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular essa probabilidade. Como estamos escolhendo sem reposição (ou seja, sem colocar a pessoa de volta após escolher), usamos combinações. As combinações nos ajudam a calcular de quantas maneiras podemos selecionar um grupo sem se importar com a ordem.

Passo 3

A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde:
  • $ n $ é o total de elementos,
  • $ k $ é o número de elementos a serem escolhidos,
  • $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de escolher 12 jurados de um grupo de 40 pessoas:
C(40, 12) = 40!12!(40 - 12)!

Passo 5

Em seguida, queremos saber de quantas maneiras podemos escolher 12 homens de um grupo de 20 homens:
C(20, 12) = 20!12!(20 - 12)!

Passo 6

A probabilidade de escolher 12 homens é o número de maneiras de escolher 12 homens dividido pelo número total de maneiras de escolher 12 pessoas:
P = C(20, 12)C(40, 12)

Passo 7

Vamos calcular esses valores:
Primeiro, calculando $ C(20, 12) $:
C(20, 12)
Depois, calculando $ C(40, 12) $:
C(20, 12) = 20!12! times 8! = 125,970

Passo 8

Agora, dividimos os dois resultados para encontrar a probabilidade:
P = 125,9706,244,052,112 approx 0,0000202
Para facilitar, podemos expressar isso como aproximadamente 0,00202%, ou seja, uma chance muito pequena.

Passo 9

Quanto à segunda parte da pergunta: se o acusado é condenado por um júri composto só de homens, devemos considerar se a seleção dos jurados foi realmente aleatória. Dado que a probabilidade de formar um júri só de homens é extremamente baixa (como calculamos), a ocorrência de um júri totalmente masculino e a condenação podem sugerir que a seleção dos jurados não foi aleatória. Isso porque, em condições de aleatoriedade, esperaríamos jurados de ambos os gêneros com muito mais frequência.

Resposta

A probabilidade de, ao escolher aleatoriamente 12 jurados de 20 homens e 20 mulheres, todos serem homens é aproximadamente 0,00202%. Além disso, se o acusado for condenado por um júri composto apenas por homens, há evidências que sugerem que a escolha dos jurados pode não ter sido verdadeiramente aleatória.

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