Uma relação aprovada de jurados contém 20 homens e 20 mulheres. Determine a probabilidade de que, em uma escolha aleatória de 12 dessas pessoas, obtenhamos um júri composto só de homens. Nessas circunstâncias, se o acusado é condenado por tal júri, há evidência suficiente para sugerir que a escolha dos jurados não foi aleatória?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidade e combinatória. Temos uma relação de jurados com 20 homens e 20 mulheres, totalizando 40 pessoas. Queremos descobrir a chance de, ao escolhermos 12 jurados de forma aleatória, todos eles serem homens. Além disso, vamos analisar se, se isso acontecer e o acusado for condenado por esse júri só de homens, há motivos para pensar que a seleção dos jurados não foi realmente aleatória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular essa probabilidade. Como estamos escolhendo sem reposição (ou seja, sem colocar a pessoa de volta após escolher), usamos combinações. As combinações nos ajudam a calcular de quantas maneiras podemos selecionar um grupo sem se importar com a ordem.
Passo 3
A fórmula para combinações é:
onde:
- $ n $ é o total de elementos,
- $ k $ é o número de elementos a serem escolhidos,
- $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de escolher 12 jurados de um grupo de 40 pessoas:
Passo 5
Em seguida, queremos saber de quantas maneiras podemos escolher 12 homens de um grupo de 20 homens:
Passo 6
A probabilidade de escolher 12 homens é o número de maneiras de escolher 12 homens dividido pelo número total de maneiras de escolher 12 pessoas:
Passo 7
Vamos calcular esses valores:
Primeiro, calculando $ C(20, 12) $:
Depois, calculando $ C(40, 12) $:
Passo 8
Agora, dividimos os dois resultados para encontrar a probabilidade:
Para facilitar, podemos expressar isso como aproximadamente 0,00202%, ou seja, uma chance muito pequena.
Passo 9
Quanto à segunda parte da pergunta: se o acusado é condenado por um júri composto só de homens, devemos considerar se a seleção dos jurados foi realmente aleatória. Dado que a probabilidade de formar um júri só de homens é extremamente baixa (como calculamos), a ocorrência de um júri totalmente masculino e a condenação podem sugerir que a seleção dos jurados não foi aleatória. Isso porque, em condições de aleatoriedade, esperaríamos jurados de ambos os gêneros com muito mais frequência.
Resposta
A probabilidade de, ao escolher aleatoriamente 12 jurados de 20 homens e 20 mulheres, todos serem homens é aproximadamente 0,00202%. Além disso, se o acusado for condenado por um júri composto apenas por homens, há evidências que sugerem que a escolha dos jurados pode não ter sido verdadeiramente aleatória.