Em uma certa situação física, a função de onda de um elétron em t=0 é dada por Psi(x)=A e^-x^2 / 4 sigma, onde A e sigma são constantes reais positivas. Não há confinamento, de modo que o elétron pode se mover ao longo de toda a reta real.
© Qual é a probabilidade de encontrar o elétron na posição x=raizsigma ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física quântica juntos! A gente tem uma função de onda para um elétron, que é Psi(x) = A e^-x^2 / 4 sigma, onde A e sigma são constantes positivas. O objetivo aqui é descobrir qual é a probabilidade de encontrar o elétron na posição x = raizsigma. Para isso, vamos precisar entender como a função de onda está relacionada com a probabilidade e garantir que a função esteja normalizada, ou seja, que a probabilidade total de encontrar o elétron em qualquer lugar seja 1.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a constante A de forma que a integral de |Psi(x)|^2 por todo o espaço seja igual a 1. Matemáticamente, isso fica:
integral-infty^+infty |Psi(x)|^2 dx = 1
Substituindo Psi(x), temos:
integral-infty^+infty A^2 e^-x^2 / 2 sigma dx = 1

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de uma função gaussiana é conhecida:
integral-infty^+infty e^-a x^2 dx = raizpia
No nosso caso, a = 12 sigma, então a integral fica:
A^2 raiz2 pi sigma = 1

Passo 4

Resolvendo para A, temos:
A^2 = 1raiz2 pi sigma Rightarrow A = (12 pi sigma)^1/4

Passo 5

Agora que temos o valor de A, podemos calcular a probabilidade de encontrar o elétron na posição x = raizsigma. A probabilidade de estar num ponto específico é dada por |Psi(x)|^2. Então:
|Psi(raizsigma)|^2 = A^2 e^-(raizsigma)^2 / 2 sigma = A^2 e^-1/2

Passo 6

Substituindo o valor de A^2 que encontramos:
|Psi(raizsigma)|^2 = 1raiz2 pi sigma e^-1/2

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron na posição x = raizsigma é e^-1/2raiz2 pi sigma.

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