Em um dado problema unidimensional, um próton se move livremente entre duas paredes rígidas e separadas por uma distância L.
(b) Com base nesses comprimentos de onda, encontre uma expressão geral para a energia cinética do próton (válida para qualquer n ).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um próton se movendo livremente entre duas paredes rígidas, formando um sistema unidimensional com distância $ L $ entre elas. O conteúdo principal aqui é a quantização da energia em sistemas restritos, especificamente em uma “partícula na caixa”. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como as ondas estacionárias se formam nesse sistema e como elas relacionam com a energia cinética do próton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula, como o próton, está confinada entre duas paredes rígidas, ela só pode assumir certos comprimentos de onda que se encaixam perfeitamente no espaço disponível. Isso forma ondas estacionárias, que são essenciais para determinar os níveis de energia permitidos.

Passo 3

As condições de contorno para as paredes rígidas dizem que a função de onda do próton deve ser zero nas paredes. Isso leva à quantização dos comprimentos de onda. A condição matemática para isso é:
n lambdan2 = L
Aqui, $ n $ é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …), e $ \lambda_n $ é o comprimento de onda correspondente a cada nível de energia.

Passo 4

Resolvendo a equação para $ \lambda_n $, temos:
lambdan
Isso nos mostra que os comprimentos de onda permitidos são inversamente proporcionais ao número quântico $ n $.

Passo 5

Agora, vamos relacionar o comprimento de onda com a quantidade de movimento. Sabemos que:
p = hlambdan
Onde $ p $ é o momento linear do próton e $ h $ é a constante de Planck.

Passo 6

Substituindo $ \lambda_n $ na equação do momento, temos:
lambdan

Passo 7

A energia cinética ($ E_k $) está relacionada ao momento pela fórmula:
Ek
Onde $ m $ é a massa do próton.

Passo 8

Substituindo $ p $ na fórmula da energia cinética:
p

Resposta

A expressão geral para a energia cinética do próton, válida para qualquer número quântico $ n $, é:
n

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