Para que efeitos quânticos fossem relevantes no mundo macroscópico, seria necessário que o comprimento de onda de de Broglie fosse também macroscópico. Por exemplo, lambda approx 1, cm. De acordo com a relação lambda=h / p, onde h é a constante de Planck, muito pequena, isso exigiria que o momento p=m v fosse também muito pequeno. No mundo atômico e subatômico, isso é possível devido à pequena massa das partículas. Porém, no mundo macroscópico, cada objeto é composto por um enorme número de átomos, o que resulta em uma massa total muito grande. Assim, a única possibilidade de se obter um lambda=h / m v apreciável seria através de uma redução extrema da velocidade v. Este problema explora essa (a) Qual é o comprimento de onda associado a um corpo de 1 g que se move a uma velocidade de 1 m por ano? Esse comprimento é mensurável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema tá falando sobre o comprimento de onda de de Broglie e como ele se aplica a objetos macroscópicos. A gente vai precisar usar a relação lambda = hp, onde lambda é o comprimento de onda, h é a constante de Planck, e p é o momento linear ( p = m times v). Nossa missão aqui é descobrir qual é o comprimento de onda de um objeto de 1 grama que se move a uma velocidade de 1 metro por ano e ver se esse comprimento de onda é algo que a gente pode medir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os valores que temos:
  • Massa ( m): 1 grama, que é igual a 0,001 kg (já que 1 kg = 1000 g).
  • Velocidade ( v): 1 metro por ano. Mas pra usar na nossa fórmula, precisamos converter isso para metros por segundo.

Passo 3

Vamos converter a velocidade de 1 metro por ano para metros por segundo:
  • 1 ano tem aproximadamente 3,156 times 10^7 segundos.
  • Então, v = 1 , m3,156 times 10^7 , s approx 3,17 times 10^-8 , m/s.

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento linear ( p):
  • p = m times v = 0,001 , kg times 3,17 times 10^-8 , m/s = 3,17 times 10^-11 , kg·m/s.

Passo 5

Com o momento linear em mãos, podemos calcular o comprimento de onda de de Broglie:
  • A constante de Planck ( h) é aproximadamente 6,626 times 10^-34 , J·s.
  • Então, lambda = hp = 6,626 times 10^-34 , J·s3,17 times 10^-11 , kg·m/s approx 2,09 times 10^-23 , m.

Passo 6

Por fim, vamos analisar se esse comprimento de onda é mensurável:
  • O valor que obtivemos, 2,09 times 10^-23 , m, é extremamente pequeno, muito menor do que qualquer comprimento de onda que conseguimos medir com as tecnologias atuais.
  • Para ter um comprimento de onda de aproximadamente 1 cm ( 10^-2 , m), precisaríamos de condições bem diferentes, como uma massa muito menor ou uma velocidade extremamente baixa, o que não é viável no mundo macroscópico.

Resposta

O comprimento de onda associado a um corpo de 1 g que se move a uma velocidade de 1 metro por ano é aproximadamente 2,09 times 10^-23 , metros. Esse comprimento de onda não é mensurável com as tecnologias atuais.

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