Considere que um elétron está confinado a se mover unidimensionalmente em uma região definida por 0 <= x <= L, onde L é um número real e positivo.
(a) Se, nessa situação, a função de onda for dada por Psi(x, t)=A e^i t sin (2 pi xL), determine a constante A real que garanta que o elétron está de fato na região confinada. Chamamos esse processo de normalização da função de onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um elétron que só pode se mover numa linha, entre 0 e L. A função de onda desse elétron é dada por Psi(x, t) = A e^i t sin(2 pi xL). Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante A que garante que o elétron esteja realmente nessa região confinada. Esse processo chama-se normalização da função de onda e envolve garantir que a probabilidade total de encontrar o elétron entre 0 e L seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para normalizar a função de onda, a integral do módulo ao quadrado de Psi(x, t) de 0 a L deve ser igual a 1. Em outras palavras:
integral0^L |Psi(x, t)|^2 dx = 1

Passo 3

Agora, calculamos |Psi(x, t)|^2. Sabemos que |e^i t|^2 = e^i t cdot e^-i t = 1, então:
|Psi(x, t)|^2 = |A e^i t sin(2 pi xL)|^2 = A^2 sin^2(2 pi xL)

Passo 4

Substituindo esse resultado na integral de normalização, temos:
A^2 integral0^L sin^2(2 pi xL) dx = 1

Passo 5

Vamos resolver a integral integral0^L sin^2(2 pi xL) dx. Usamos a identidade trigonométrica sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2:
integral0^L sin^2(2 pi xL) dx = integral0^L 1 - cos(4 pi xL)2 dx = 12 [ integral0^L 1 , dx - integral0^L cos(4 pi xL) dx ]

Passo 6

Calculando as integrais:
integral0^L 1 , dx = L
integral0^L cos(4 pi xL) dx = L4 pi sin(4 pi xL) |0^L = 0
Então:
integral0^L sin^2(2 pi xL) dx = 12 (L - 0) = L2

Passo 7

Voltando à equação de normalização:
A^2 cdot L2 = 1
Resolvendo para A^2:
A^2 = 2L

Passo 8

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar A:
A = raiz2L

Resposta

A constante de normalização é A = raizdfrac2L.

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