Considere que um elétron está confinado a se mover unidimensionalmente em uma região definida por , onde é um número real e positivo.
(a) Se, nessa situação, a função de onda for dada por , determine a constante real que garanta que o elétron está de fato na região confinada. Chamamos esse processo de normalização da função de onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um elétron que só pode se mover numa linha, entre 0 e L. A função de onda desse elétron é dada por . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante que garante que o elétron esteja realmente nessa região confinada. Esse processo chama-se normalização da função de onda e envolve garantir que a probabilidade total de encontrar o elétron entre 0 e L seja 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para normalizar a função de onda, a integral do módulo ao quadrado de de 0 a L deve ser igual a 1. Em outras palavras:
Passo 3
Agora, calculamos . Sabemos que , então:
Passo 4
Substituindo esse resultado na integral de normalização, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral . Usamos a identidade trigonométrica :
Passo 6
Calculando as integrais:
Então:
integral0^L sin^2(2 pi xL) dx = 12 (L - 0) = L2
Passo 7
Voltando à equação de normalização:
A^2 cdot L2 = 1
Resolvendo para A^2:
A^2 = 2L
Passo 8
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar A: