Para os próximos dois problemas, considere a lei de resfriamento/aquecimento de Newton:
d Td t=k(T-Tm)
em que T=T(t) é a temperatura de um objeto no instante t >= 0 e Tm é a temperatura do meio que se encontra.
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Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de 20^circ C para fora, onde a temperatura é de 5^circ C. Após 1 / 2 minuto o termômetro marca 15 ^circ C.
a) Determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando ele está em contato com um ambiente de temperatura diferente. Aqui, temos um termômetro que leva de uma sala com 20°C para fora, onde está 5°C. Após meio minuto, a temperatura do termômetro é de 15°C. Nosso objetivo é descobrir como a temperatura do termômetro varia com o tempo, ou seja, encontrar uma função que descreva essa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
d Td t = k ( T - Tm )
Aqui:
  • T(t) é a temperatura do termômetro no tempo t .
  • Tm é a temperatura do ambiente (neste caso, 5°C).
  • k é uma constante que depende das propriedades do objeto e do ambiente.
Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para encontrar T(t) .

Passo 3

Essa equação diferencial é uma equação linear de primeira ordem e pode ser resolvida usando o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos reorganizar a equação:
d Td t = k T - k Tm
Vamos reunir os termos que envolvem T de um lado e os termos que envolvem t do outro.

Passo 4

A próxima etapa é separar as variáveis T e t :
d TT - Tm = k , dt
Agora, temos uma integral que podemos resolver de ambos os lados.

Passo 5

Integrando ambos os lados:
integral 1T - Tm , d T = integral k , dt
A integral do lado esquerdo é ln|T - Tm| e do lado direito é k t + C , onde C é a constante de integração.
Então, temos:
ln|T - Tm| = k t + C

Passo 6

Vamos resolver para T . Primeiro, aplicamos a exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
T - Tm = e^k t + C = e^C e^k t
Podemos chamar e^C de uma nova constante C' :
T - Tm = C' e^k t
Então,
T(t) = Tm + C' e^k t

Passo 7

Agora, vamos determinar a constante C' usando as condições iniciais fornecidas. Sabemos que quando t = 0 , o termômetro estava na sala com 20°C:
T(0) = 20 = 5 + C' e^k cdot 0 implies 20 = 5 + C' implies C' = 15
Então, a equação fica:
T(t) = 5 + 15 e^k t

Passo 8

Precisamos agora encontrar o valor de k . Sabemos que após 0,5 minutos, a temperatura é 15°C:
15 = 5 + 15 e^k cdot 0,5
Subtraindo 5 de ambos os lados:
10 = 15 e^0,5 k
Dividindo por 15:
1015 = e^0,5 k implies 23 = e^0,5 k

Passo 9

Para resolver para k , tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
ln(23) = 0,5 k implies k = 2 ln(23)1 = 2 ln(23)
Calculando o valor numérico:
k approx 2 times (-0,4055) approx -0,811

Passo 10

Agora que temos k , podemos escrever a função T(t) :
T(t) = 5 + 15 e^-0,811 t

Resposta

A temperatura marcada no termômetro em função do tempo é:
T(t) = 5 + 15, e^-0,811, t

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