Certas culturas podem ser infetadas por bactérias e por cogumelos. A probabilidade de uma cultura estar infetada por cogumelos é de 0.42. A probabilidade de uma cultura não ter bactérias é de 0.85 . Sabe-se ainda que a probabilidade de ter uma cultura infetada por bactérias e cogumelos é de 0.05 .
(a) Qual é a probabilidade de uma cultura escolhida ao acaso, i. estar infetada? ii. não ter cogumelos nem bactérias?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos culturas que podem ser infectadas por duas coisas: bactérias e cogumelos. A probabilidade de uma cultura estar infectada por cogumelos é 0,42. A probabilidade de uma cultura não ter bactérias é 0,85, o que significa que a probabilidade de ter bactérias é 0,15 (já que 1 - 0,85 = 0,15). Além disso, a probabilidade de uma cultura estar infectada tanto por bactérias quanto por cogumelos é 0,05. Vamos usar conceitos de probabilidade para responder as duas partes da questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma cultura estar infectada. Isso pode acontecer de duas formas: ou está infectada por bactérias, ou por cogumelos, ou pelas duas ao mesmo tempo. Queremos encontrar a probabilidade de uma cultura estar infectada por pelo menos uma dessas duas.
Para isso, usamos a Regra da Somatória em probabilidade, que diz:
P(B cup C) = P(B) + P(C) - P(B cap C)
Onde:
  • P(B) é a probabilidade de estar infectada por bactérias.
  • P(C) é a probabilidade de estar infectada por cogumelos.
  • P(B cap C) é a probabilidade de estar infectada pelos dois ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
P(B cup C) = 0,15 + 0,42 - 0,05
Calculando:
P(B cup C) = 0,57 - 0,05 = 0,52
Então, a probabilidade de uma cultura estar infectada por pelo menos uma das duas (bactérias ou cogumelos) é 0,52.

Passo 4

Agora, para encontrar a probabilidade de uma cultura NÃO ter nem cogumelos nem bactérias, precisamos considerar o complemento do evento anterior. Ou seja, se a probabilidade de estar infectada por pelo menos uma é 0,52, a probabilidade de não estar infectada por nenhuma é:
P(não B cap não C) = 1 - P(B cup C) ãã
Substituindo:
P(não B cap não C) = 1 - 0,52 = 0,48 ãã

Resposta

i. A probabilidade de uma cultura estar infectada é 0,52.
ii. A probabilidade de uma cultura não ter cogumelos nem bactérias é 0,48.

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