Considere 3 caixas iguais contendo as seguintes bolas coloridas:
  • caixa 1: 2 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 5 bolas azuis;
  • caixa 2: 4 bolas vermelhas, 1 bola branca e 3 bolas azuis;
  • caixa 3: 3 bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 3 bolas azuis.
    Uma caixa é seleccionada ao acaso, extrai-se uma bola aleatoriamente da caixa e verifica-se que é vermelha. Qual é a probabilidade de ter sido seleccionada a caixa 3 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre probabilidade, especificamente sobre probabilidade condicional. A gente tem 3 caixas com diferentes quantidades de bolas vermelhas, brancas e azuis. Precisamos descobrir qual a chance de termos escolhido a caixa 3 dado que tiramos uma bola vermelha. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que ajuda a atualizar nossas probabilidades com base em novas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Caixa 1: 2 vermelhas, 3 brancas, 5 azuis → Total: 10 bolas
  • Caixa 2: 4 vermelhas, 1 branca, 3 azuis → Total: 8 bolas
  • Caixa 3: 3 vermelhas, 4 brancas, 3 azuis → Total: 10 bolas
Como as caixas são escolhidas com a mesma chance, a probabilidade de escolher qualquer caixa é $ \frac{1}{3} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar uma bola vermelha de cada caixa:
  • Caixa 1: $ P(V|C1) = \frac{2}{10} = 0,2 $
  • Caixa 2: $ P(V|C2) = \frac{4}{8} = 0,5 $
  • Caixa 3: $ P(V|C3) = \frac{3}{10} = 0,3 $
Aqui, $ P(V|C1) $ significa “probabilidade de tirar vermelha dado que escolhemos a Caixa 1”, e assim por diante.

Passo 4

Para achar a probabilidade total de tirar uma bola vermelha, usamos a regra da probabilidade total:
P(V) = P(C1) times P(V|C1) + P(C2) times P(V|C2) + P(C3) times P(V|C3)
Substituindo os valores:
P(V) = 13 times 0,2 + 13 times 0,5 + 13 times 0,3 = 0,2 + 0,5 + 0,33 = 13 approx 0,333

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de termos escolhido a Caixa 3 dado que tiramos uma bola vermelha:
P(C3|V) = P(C3) times P(V|C3)P(V)
Substituindo os valores que já calculamos:
P(C3|V) = 13 times 0,30,333 approx 0,10,333 approx 0,3

Resposta

A probabilidade de termos selecionado a Caixa 3, dado que a bola tirada foi vermelha, é de aproximadamente 30%.

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