Sejam A e B acontecimentos de Omega tais que P(A)=3 / 8, P(B)=1 / 2 e P(A cap B)=1 / 4. Determine:
(d) P(barA cap barB)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois eventos, $ A $ e $ B $, com as seguintes probabilidades:
  • $ P(A) = \frac{3}{8} $
  • $ P(B) = \frac{1}{2} $
  • $ P(A \cap B) = \frac{1}{4} $
A questão pede para determinar $ P(\bar{A} \cap \bar{B}) $, que é a probabilidade de nem A nem B acontecerem. Vamos usar conceitos de Probabilidade, como complementos e a regra da inclusão-exclusão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ \bar{A} $ e $ \bar{B} $. O símbolo $ \bar{} $ representa o complemento de um evento, ou seja:
  • $ \bar{A} $ é a probabilidade de A não acontecer.
  • $ \bar{B} $ é a probabilidade de B não acontecer.
Sabemos que a probabilidade de um evento não acontecer é $ 1 $ menos a probabilidade de ele acontecer. Então, podemos calcular $ P(\bar{A}) $ e $ P(\bar{B}) $.

Passo 3

Vamos calcular $ P(\bar{A}) $:
P(barA)
E agora $ P(\bar{B}) $:
P(barA) = 1 - P(A) = 1 - 38 = 58

Passo 4

Agora, queremos encontrar $ P(\bar{A} \cap \bar{B}) $, ou seja, a probabilidade de nenhum dos dois eventos acontecerem. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade conjunta de eventos complementares.
Sabemos que:
P(barA cap barB)
Então, primeiro precisamos encontrar $ P(A \cup B) $, que é a probabilidade de A ou B acontecerem. Para isso, usamos a fórmula da inclusão-exclusão:
P(barA cap barB) = 1 - P(A cup B)

Passo 5

Vamos calcular $ P(A \cup B) $:
P(A cup B)
Primeiro, igualamos os denominadores:
P(A cup B) = 38 + 12 - 14
Então:
38 + 48 - 28 = 58

Passo 6

Agora, voltamos à fórmula para $ P(\bar{A} \cap \bar{B}) $:
P(barA cap barB)

Resposta

A probabilidade de nem A nem B acontecerem é $ \frac{3}{8} $.

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