Sejam
e
acontecimentos de
tais que
e
. Determine:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois eventos, $ A $ e $ B $, com as seguintes probabilidades:
- $ P(A) = \frac{3}{8} $
- $ P(B) = \frac{1}{2} $
- $ P(A \cap B) = \frac{1}{4} $
A questão pede para determinar $ P(\bar{A} \cap \bar{B}) $, que é a probabilidade de nem A nem B acontecerem. Vamos usar conceitos de Probabilidade, como complementos e a regra da inclusão-exclusão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ \bar{A} $ e $ \bar{B} $. O símbolo $ \bar{} $ representa o complemento de um evento, ou seja:
- $ \bar{A} $ é a probabilidade de A não acontecer.
- $ \bar{B} $ é a probabilidade de B não acontecer.
Sabemos que a probabilidade de um evento não acontecer é $ 1 $ menos a probabilidade de ele acontecer. Então, podemos calcular $ P(\bar{A}) $ e $ P(\bar{B}) $.
Passo 3
Vamos calcular $ P(\bar{A}) $:
E agora $ P(\bar{B}) $:
Passo 4
Agora, queremos encontrar $ P(\bar{A} \cap \bar{B}) $, ou seja, a probabilidade de nenhum dos dois eventos acontecerem. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade conjunta de eventos complementares.
Sabemos que:
Então, primeiro precisamos encontrar $ P(A \cup B) $, que é a probabilidade de A ou B acontecerem. Para isso, usamos a fórmula da inclusão-exclusão:
Passo 5
Vamos calcular $ P(A \cup B) $:
Primeiro, igualamos os denominadores:
Então:
Passo 6
Agora, voltamos à fórmula para $ P(\bar{A} \cap \bar{B}) $:
Resposta
A probabilidade de nem A nem B acontecerem é $ \frac{3}{8} $.