Num teste de deteção de uma certa doença, a probabilidade do resultado ser positivo quando aplicado a um indivíduo com essa doença é 0.99 , ao passo que a probabilidade de se observar um resultado positivo num indivíduo sem essa doença é 0.02 .
(a) Numa certa população a probabilidade de uma pessoa arbitrária ter a doença é 0.001 (prevalência). Para um indivíduo escolhido ao acaso nesta população, calcule:
iii. A probabilidade do indivíduo não ter a doença, dado que o resultado do teste foi negativo.
(a) Numa certa população a probabilidade de uma pessoa arbitrária ter a doença é 0.001 (prevalência). Para um indivíduo escolhido ao acaso nesta população, calcule:
iii. A probabilidade do indivíduo não ter a doença, dado que o resultado do teste foi negativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um teste para detectar uma doença. A gente sabe que:
- Se a pessoa tem a doença, a chance do teste dar positivo é 99% (0.99).
- Se a pessoa não tem a doença, a chance do teste dar positivo é 2% (0.02).
Além disso, na população geral, a probabilidade de alguém ter a doença é de 0.1% (0.001). Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de uma pessoa não ter a doença dado que o teste deu negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “teste negativo”. Se o teste deu negativo, ele pode estar certo ou ter errado. A gente precisa calcular a probabilidade de a pessoa realmente não ter a doença nessa situação.
Vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter probabilidades condicionais. A fórmula do Teorema de Bayes é:
Aqui, queremos achar $ P(Não tem doença|Teste negativo) $.
Passo 3
Vamos identificar cada parte da fórmula:
- $ A $ é “Não tem a doença”.
- $ B $ é “Teste negativo”.
Então, precisamos calcular:
- $ P(Teste negativo|Não tem doença) $
- $ P(Não tem doença) $
- $ P(Teste negativo) $
Passo 4
Primeiro, sabemos que $ P(Não tem doença) = 0.999 $ (já que a prevalência é 0.001).
Agora, $ P(Teste negativo|Não tem doença) $ é a probabilidade do teste dar negativo quando a pessoa realmente não tem a doença. Como a chance do teste dar positivo é 0.02, a chance de dar negativo é $ 1 - 0.02 = 0.98 $.
Passo 5
Agora, precisamos calcular $ P(Teste negativo) $, que é a probabilidade geral do teste dar negativo. Isso pode acontecer de duas formas:
- A pessoa não tem a doença e o teste deu negativo.
- A pessoa tem a doença e o teste deu negativo.
Então:
Sabemos que:
- $ P(Tem doença) = 0.001 $
- $ P(Teste negativo|Tem doença) = 1 - 0.99 = 0.01 $
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Vamos calcular isso:
Então:
Passo 7
Agora, voltamos à fórmula do Teorema de Bayes para encontrar $ P(Não tem doença|Teste negativo) $:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos fazer o cálculo:
Então:
Resposta
A probabilidade do indivíduo não ter a doença, dado que o teste foi negativo, é aproximadamente 99,999%.