Num teste de deteção de uma certa doença, a probabilidade do resultado ser positivo quando aplicado a um indivíduo com essa doença é 0.99 , ao passo que a probabilidade de se observar um resultado positivo num indivíduo sem essa doença é 0.02 .
(a) Numa certa população a probabilidade de uma pessoa arbitrária ter a doença é 0.001 (prevalência). Para um indivíduo escolhido ao acaso nesta população, calcule:
iii. A probabilidade do indivíduo não ter a doença, dado que o resultado do teste foi negativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um teste para detectar uma doença. A gente sabe que:
  • Se a pessoa tem a doença, a chance do teste dar positivo é 99% (0.99).
  • Se a pessoa não tem a doença, a chance do teste dar positivo é 2% (0.02).
Além disso, na população geral, a probabilidade de alguém ter a doença é de 0.1% (0.001). Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de uma pessoa não ter a doença dado que o teste deu negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “teste negativo”. Se o teste deu negativo, ele pode estar certo ou ter errado. A gente precisa calcular a probabilidade de a pessoa realmente não ter a doença nessa situação.
Vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter probabilidades condicionais. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(A|B) = P(B|A) cdot P(A)P(B)
Aqui, queremos achar $ P(Não tem doença|Teste negativo) $.

Passo 3

Vamos identificar cada parte da fórmula:
  • $ A $ é “Não tem a doença”.
  • $ B $ é “Teste negativo”.
Então, precisamos calcular:
  • $ P(Teste negativo|Não tem doença) $
  • $ P(Não tem doença) $
  • $ P(Teste negativo) $

Passo 4

Primeiro, sabemos que $ P(Não tem doença) = 0.999 $ (já que a prevalência é 0.001).
Agora, $ P(Teste negativo|Não tem doença) $ é a probabilidade do teste dar negativo quando a pessoa realmente não tem a doença. Como a chance do teste dar positivo é 0.02, a chance de dar negativo é $ 1 - 0.02 = 0.98 $.

Passo 5

Agora, precisamos calcular $ P(Teste negativo) $, que é a probabilidade geral do teste dar negativo. Isso pode acontecer de duas formas:
  1. A pessoa não tem a doença e o teste deu negativo.
  2. A pessoa tem a doença e o teste deu negativo.
Então:
P(Teste negativo) ãçãççç
Sabemos que:
  • $ P(Tem doença) = 0.001 $
  • $ P(Teste negativo|Tem doença) = 1 - 0.99 = 0.01 $

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
P(Teste negativo) = 0.999 cdot 0.98 + 0.001 cdot 0.01
Vamos calcular isso:
0.999 cdot 0.98 = 0.97802
0.001 cdot 0.01 = 0.00001
Então:
P(Teste negativo) = 0.97802 + 0.00001 = 0.97803

Passo 7

Agora, voltamos à fórmula do Teorema de Bayes para encontrar $ P(Não tem doença|Teste negativo) $:
P(Não tem doença|Teste negativo) ãçãçãç
Substituindo os valores:
P(Não tem doença|Teste negativo) = P(Teste negativo|Não tem doença) cdot P(Não tem doença)P(Teste negativo) ãç

Passo 8

Vamos fazer o cálculo:
0.98 cdot 0.999 = 0.97802
Então:
P(Não tem doença|Teste negativo) = 0.978020.97803 approx 0.99999 ãç

Resposta

A probabilidade do indivíduo não ter a doença, dado que o teste foi negativo, é aproximadamente 99,999%.

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