Certas culturas podem ser infetadas por bactérias e por cogumelos. A probabilidade de uma cultura estar infetada por cogumelos é de 0.42. A probabilidade de uma cultura não ter bactérias é de 0.85 . Sabe-se ainda que a probabilidade de ter uma cultura infetada por bactérias e cogumelos é de 0.05 .
(b) Há independência entre a infeção por bactérias e por cogumelos? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre a probabilidade de culturas estarem infectadas por bactérias e por cogumelos. Especificamente, temos as seguintes probabilidades:
Probabilidade de não ter bactérias: $ P(\overline{B}) = 0.85 $
Probabilidade de ter tanto bactérias quanto cogumelos: $ P(B \cap C) = 0.05 $
Vamos usar esses dados para descobrir se as infecções por bactérias e cogumelos são independentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir a probabilidade de uma cultura ter bactérias. Sabemos que $ P(\overline{B}) = 0.85 $, que é a probabilidade de não ter bactérias.
A probabilidade de ter bactérias é complementária a essa, ou seja:
Então, $ P(B) = 0.15 $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa eventos independentes. Dois eventos $ A $ e $ B $ são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. Matemáticamente, isso é:
Agora, vamos comparar essa probabilidade multiplicada $ 0.063 $ com a probabilidade real de ter ambos os infecções, que é $ P(B \cap C) = 0.05 $.
0.063
Os valores são diferentes.
Passo 5
Como a probabilidade de ter ambas as infecções simultaneamente não é igual ao produto das probabilidades individuais, concluímos que as infecções por bactérias e por cogumelos não são independentes. Isso significa que a presença de uma das infecções afeta a probabilidade da outra.