Certas culturas podem ser infetadas por bactérias e por cogumelos. A probabilidade de uma cultura estar infetada por cogumelos é de 0.42. A probabilidade de uma cultura não ter bactérias é de 0.85 . Sabe-se ainda que a probabilidade de ter uma cultura infetada por bactérias e cogumelos é de 0.05 .
(b) Há independência entre a infeção por bactérias e por cogumelos? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre a probabilidade de culturas estarem infectadas por bactérias e por cogumelos. Especificamente, temos as seguintes probabilidades:
  • Probabilidade de ter cogumelos: $ P© = 0.42 $
  • Probabilidade de não ter bactérias: $ P(\overline{B}) = 0.85 $
  • Probabilidade de ter tanto bactérias quanto cogumelos: $ P(B \cap C) = 0.05 $
Vamos usar esses dados para descobrir se as infecções por bactérias e cogumelos são independentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir a probabilidade de uma cultura ter bactérias. Sabemos que $ P(\overline{B}) = 0.85 $, que é a probabilidade de não ter bactérias.
A probabilidade de ter bactérias é complementária a essa, ou seja:
P(B) = 0.85
Então, $ P(B) = 0.15 $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa eventos independentes. Dois eventos $ A $ e $ B $ são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. Matemáticamente, isso é:
A
No nosso caso, queremos saber se as infecções por bactérias ($ B B C $) são independentes. Então, vamos calcular $ P(B) \times P© $:
P(A cap B) = P(A) times P(B)

Passo 4

Agora, vamos comparar essa probabilidade multiplicada $ 0.063 $ com a probabilidade real de ter ambos os infecções, que é $ P(B \cap C) = 0.05 $.
0.063
Os valores são diferentes.

Passo 5

Como a probabilidade de ter ambas as infecções simultaneamente não é igual ao produto das probabilidades individuais, concluímos que as infecções por bactérias e por cogumelos não são independentes. Isso significa que a presença de uma das infecções afeta a probabilidade da outra.

Resposta

Não, as infecções por bactérias e por cogumelos não são independentes, pois a probabilidade conjunta $ P(B \cap C) = 0.05 $ é diferente do produto das probabilidades individuais $ P(B) \times P© = 0.063 $.

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