Num teste de deteção de uma certa doença, a probabilidade do resultado ser positivo quando aplicado a um indivíduo com essa doença é 0.99 , ao passo que a probabilidade de se observar um resultado positivo num indivíduo sem essa doença é 0.02 .
(b) E se o indivíduo tivesse sido escolhido ao acaso numa população em que a prevalência da doença fosse 0.2 ?
(b) E se o indivíduo tivesse sido escolhido ao acaso numa população em que a prevalência da doença fosse 0.2 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um teste para detectar uma doença. Sabemos que:
- Probabilidade de resultado positivo se a pessoa tem a doença (sensibilidade): 0,99
- Probabilidade de resultado positivo se a pessoa não tem a doença (falso positivo): 0,02
- Prevalência da doença na população: 0,2
O conteúdo aqui é probabilidade condicional e vamos usar o Teorema de Bayes para resolver essa questão. Precisamos descobrir qual a chance de uma pessoa realmente ter a doença, dado que o teste deu positivo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada probabilidade:
- Sensibilidade (P(T+|D)) = 0,99: Se uma pessoa tem a doença, há 99% de chance de o teste dar positivo.
- Falso positivo (P(T+|¬D)) = 0,02: Se a pessoa não tem a doença, há 2% de chance de o teste dar positivo.
- Prevalência (P(D)) = 0,2: 20% da população tem a doença.
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de ter a doença dado que o teste foi positivo (P(D|T+)). Para isso, usamos o Teorema de Bayes, que diz:
Onde $ P(T+) $ é a probabilidade geral de o teste dar positivo, independente de a pessoa ter ou não a doença.
Passo 4
Vamos calcular $ P(T+) $. Essa probabilidade pode ocorrer de duas maneiras:
- A pessoa tem a doença e o teste dá positivo.
- A pessoa não tem a doença e o teste dá positivo.
Então,
Sabemos que $ P(¬D) = 1 - P(D) = 0,8 $.
Passo 5
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o teste deu positivo, é de aproximadamente 92,5%.