Num teste de deteção de uma certa doença, a probabilidade do resultado ser positivo quando aplicado a um indivíduo com essa doença é 0.99 , ao passo que a probabilidade de se observar um resultado positivo num indivíduo sem essa doença é 0.02 .
(b) E se o indivíduo tivesse sido escolhido ao acaso numa população em que a prevalência da doença fosse 0.2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um teste para detectar uma doença. Sabemos que:
  • Probabilidade de resultado positivo se a pessoa tem a doença (sensibilidade): 0,99
  • Probabilidade de resultado positivo se a pessoa não tem a doença (falso positivo): 0,02
  • Prevalência da doença na população: 0,2
O conteúdo aqui é probabilidade condicional e vamos usar o Teorema de Bayes para resolver essa questão. Precisamos descobrir qual a chance de uma pessoa realmente ter a doença, dado que o teste deu positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada probabilidade:
  • Sensibilidade (P(T+|D)) = 0,99: Se uma pessoa tem a doença, há 99% de chance de o teste dar positivo.
  • Falso positivo (P(T+|¬D)) = 0,02: Se a pessoa não tem a doença, há 2% de chance de o teste dar positivo.
  • Prevalência (P(D)) = 0,2: 20% da população tem a doença.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de ter a doença dado que o teste foi positivo (P(D|T+)). Para isso, usamos o Teorema de Bayes, que diz:
P(D|T+) = P(T+|D) times P(D)P(T+)
Onde $ P(T+) $ é a probabilidade geral de o teste dar positivo, independente de a pessoa ter ou não a doença.

Passo 4

Vamos calcular $ P(T+) $. Essa probabilidade pode ocorrer de duas maneiras:
  1. A pessoa tem a doença e o teste dá positivo.
  2. A pessoa não tem a doença e o teste dá positivo.
Então,
P(T+)
Sabemos que $ P(¬D) = 1 - P(D) = 0,8 $.

Passo 5

Substituindo os valores:
P(T+) = 0,99 times 0,2 + 0,02 times 0,8
P(T+) = 0,198 + 0,016
P(T+) = 0,214

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes:
P(D|T+) = 0,99 times 0,20,214
P(D|T+) = 0,1980,214
P(D|T+) approx 0,925

Resposta

A probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o teste deu positivo, é de aproximadamente 92,5%.

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