Sejam A e B acontecimentos tais que: P(A)=1 / 5, P(B)=p e P(A cup B)=1 / 3. Determine p sabendo que:
(a) A e B são acontecimentos exclusivos;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois eventos, A e B. As probabilidades dadas são:
  • $ P(A) = \frac{1}{5} $
  • $ P(B) = p $
  • $ P(A \cup B) = \frac{1}{3} $
A gente precisa descobrir o valor de $ p $ sabendo que A e B são eventos exclusivos, ou seja, não podem ocorrer ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa eventos exclusivos. Se A e B são exclusivos, isso quer dizer que $ P(A \cap B) = 0 $. Não tem sobreposição entre eles.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da união de dois eventos:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Como $ P(A \cap B) = 0 $ (porque são exclusivos), a fórmula fica:
P(A cap B) = 0

Passo 4

Sabemos que $ P(A \cup B) = \frac{1}{3} $, então substituindo na fórmula:
P(A cup B) = 13

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar $ p $. Primeiro, isolamos $ p $:
p

Passo 6

Para subtrair as frações, vamos encontrar um denominador comum. O menor múltiplo comum entre 3 e 5 é 15.
Convertendo:
13 = 515
15 = 315
Subtraindo:
p = 515 - 315 = 215

Resposta

O valor de $ p $ é $ \frac{2}{15} $.

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