Sejam
e
acontecimentos de
tais que
e
. Determine:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as probabilidades de dois eventos, $ A $ e $ B $, além da probabilidade de ambos acontecerem juntos, $ P(A \cap B) $. O que queremos descobrir é a probabilidade de pelo menos um desses eventos não acontecer, ou seja, $ P(\bar{A} \cup \bar{B}) $. Para resolver isso, vamos usar algumas regras básicas de probabilidade e álgebra de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ \bar{A} $ representa o complemento de $ A $, ou seja, a probabilidade de $ A $ não acontecer. A mesma coisa vale para $ \bar{B} $. Além disso, a união $ \bar{A} \cup \bar{B} $ significa que queremos a probabilidade de pelo menos um dos eventos $ A $ ou $ B $ não acontecer.
Passo 3
Uma estratégia útil aqui é utilizar a fórmula da probabilidade do complemento. Sabemos que:
Mas na verdade, essa é a probabilidade do complemento da interseção, então precisamos ajustar. A fórmula correta para a união dos complementos é:
No entanto, na verdade, o correto é usar a lei de De Morgan, que diz:
Portanto:
Passo 4
Sabemos que $ P(A \cap B) = \frac{1}{4} $. Substituindo na fórmula:
Resposta
A probabilidade $ P(\bar{A} \cup \bar{B}) $ é $ \frac{3}{4} $.