Um certo alto-falante (admita que seja uma fonte pontual) emite 31,6 \mathrm{~W} de potencia acústica. Um pequeno microfone com área de seção transversal efetiva 75,2 \mathrm{~mm}^{2} é localizado a 194 m do alto falante. Calcule (a) a intensidade sonora do microfone (b) a potencia incidente no microfone e (c) a quantidade de energia que foi fornecida ao microfone em 25,0 minutos. (Observaçåo: Este é um problema de aplicaçlo direta de equaçòs basicas, que definem as quantidades em questảo. Portanto, as equações nåo seria fornecidas).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que ele fornece (peguei todos os números do enunciado):
  • O que se pede:
    (a) a intensidade sonora no local do microfone;
    (b) a potência acústica incidente no microfone;
    (c) a energia fornecida ao microfone em 25,0 minutos.
  • Dados fornecidos:
    • Potência radiada pelo alto-falante: P=31,6\\ \mathrm{W}.
    • Distância do alto-falante ao microfone: r=194\\ \mathrm{m}.
    • Área efetiva do microfone: A=75,2\\ \mathrm{mm}^2.
    • Tempo para (c): t=25,0\\ \mathrm{min}.

Passo 2

Conceito que usamos (explicação didática):
  • Um alto-falante que se comporta como fonte pontual emite potência P que, a distância r, está distribuída sobre a superfície de uma esfera de raio r. A área dessa esfera é \,4\pi r^2.
  • A intensidade sonora \,I é definida como potência por unidade de área: I=\frac{P}{\text{área sobre a qual a potência se distribui}}.áê
  • Para uma fonte pontual que emite radially, isso vira a fórmula prática: \boxed{\,I=\frac{P}{4\pi r^2}\,}
Onde:
  • \,I é a intensidade em \mathrm{W/m^2},
  • \,P é a potência da fonte em \mathrm{W},
  • \,r é a distância em \mathrm{m}.
  • A potência incidente no microfone é a intensidade local multiplicada pela área efetiva do microfone: \boxed{\,P_{\text{micro}}=I\cdot A\,}.
  • A energia recebida em um tempo t é \boxed{\,E=P_{\text{micro}}\cdot t\,}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Converter unidades para o SI (métrico):
  • Converter a área de \mathrm{mm}^2 para \mathrm{m}^2. Como 1\\ \mathrm{mm}^2=10^{-6}\\ \mathrm{m}^2, temos
A=75{,}2\\ \mathrm{mm}^2 = 75{,}2\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 = 7{,}52\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
  • Converter o tempo de minutos para segundos. Como 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s},
t=25{,}0\\ \mathrm{min}=25{,}0\times 60\\ \mathrm{s}=1500\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular a intensidade I em r=194\\ \mathrm{m} usando \,I=\dfrac{P}{4\pi r^2}.
  • Primeiro r^2:
r^2 = 194^2 = 37636\\ \mathrm{m}^2.
  • Depois a área da esfera 4\pi r^2:
4\pi r^2 = 4\pi \times 37636 \approx 472947{,}9\\ \mathrm{m}^2.
  • Finalmente a intensidade:
I=\frac{P}{4\pi r^2}=\frac{31{,}6}{472947{,}9}\\ \mathrm{W/m^2}\approx 6{,}69\times 10^{-5}\\ \mathrm{W/m^2}.
(Arredondei a 3 algarismos significativos, compatível com os dados fornecidos.)

Passo 5

Calcular a potência incidente no microfone:
P_{\text{micro}}=I\cdot A=(6{,}6858\times10^{-5}\\ \mathrm{W/m^2})\times(7{,}52\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2})\approx 5{,}03\times10^{-9}\\ \mathrm{W}.
(Usei os valores computados antes e apresentei o resultado com 3 algarismos significativos.)

Passo 6

Calcular a energia recebida em t=1500\\ \mathrm{s}:
E=P_{\text{micro}}\cdot t=(5{,}03\times10^{-9}\\ \mathrm{W})\times(1500\\ \mathrm{s})\approx 7{,}54\times10^{-6}\\ \mathrm{J}.
Interpretação rápida: é uma energia muito pequena, o que faz sentido porque o microfone tem área minúscula comparada à superfície esférica a 194\\ \mathrm{m}.

Resposta

I\approx 6{,}69\times10^{-5}\\ \mathrm{W/m^2}
P_{\text{micro}}\approx 5{,}03\times10^{-9}\\ \mathrm{W}
E\approx 7{,}54\times10^{-6}\\ \mathrm{J}

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