Mostre que quando a temperatura do líquido de um barômetro varia de
, e a pressão é constante, a altura h varia de
, onde
é o coeficiente de dilatação volumétrica do líquido. Despreze a dilatação do tudo de vidro.
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas:
- Pedido: mostrar que, quando a temperatura do líquido do barômetro varia de
e a pressão atmosférica é constante, a altura do líquido varia de . - Informações relevantes:
-
é o coeficiente de dilatação volumétrica do líquido (ou seja, fração de variação de volume por unidade de temperatura). - Desprezar a dilatação do tubo de vidro (logo a área da secção transversal do tubo fica constante).
- Pressão externa (atmosférica)
é constante.
-
- Objetivo claro: relacionar a variação de altura
com , e .
Passo 2
Definição e propriedade que vamos usar da dilatação volumétrica:
- O coeficiente de dilatação volumétrica
é definido (para variações pequenas de temperatura) por
onde
é o volume inicial do líquido e
sua variação ao aquecer em
.
- Explicando:
significa “porcentagem (fração) do volume que muda por grau de temperatura”. Para pequenas podemos linearizar e usar essa fórmula diretamente.
Passo 3
Relação entre volume do líquido e altura do column do barômetro:
- Se a secção transversal do tubo tem área
(constante porque desprezamos dilatação do vidro), então o volume do líquido no tubo é
onde
é a altura da coluna.
- Ao mudar a temperatura,
. Dividindo por obtemos
- Conclusão intermediária: a variação relativa do volume é igual à variação relativa da altura:
.
Passo 4
Usar a definição de
junto com a relação volume–altura:
- Pela definição de
temos . - Usando
do passo anterior, obtemos imediatamente
- Multiplicando por
surge a fórmula desejada:
Passo 5
Comentário físico rápido (opcional para entendimento):
- Outra visão equivalente: a pressão hidroestática no fundo da coluna é
. Como é constante e também, tem-se . A massa do líquido é constante, então ao aumentar o volume a densidade reduz conforme . Isso leva a , mesma conclusão. - Observação sobre sinal: se a temperatura aumenta (
) o volume cresce, a densidade diminui e, sob pressão constante, a coluna sobe — portanto , consistente com .