Mostre que quando a temperatura do líquido de um barômetro varia de \Delta \mathrm{T}, e a pressão é constante, a altura h varia de \Delta \mathrm{h}=\beta \mathrm{h} \Delta \mathrm{T}, onde \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica do líquido. Despreze a dilatação do tudo de vidro.

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas:
  • Pedido: mostrar que, quando a temperatura do líquido do barômetro varia de \Delta T e a pressão atmosférica é constante, a altura do líquido h varia de \Delta h=\beta h \Delta T.
  • Informações relevantes:
    • \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica do líquido (ou seja, fração de variação de volume por unidade de temperatura).
    • Desprezar a dilatação do tubo de vidro (logo a área da secção transversal do tubo fica constante).
    • Pressão externa (atmosférica) p é constante.
  • Objetivo claro: relacionar a variação de altura \Delta h com \beta, h e \Delta T.

Passo 2

Definição e propriedade que vamos usar da dilatação volumétrica:
  • O coeficiente de dilatação volumétrica \beta é definido (para variações pequenas de temperatura) por
\frac{\Delta V}{V}=\beta\,\Delta T,
onde V é o volume inicial do líquido e \Delta V sua variação ao aquecer em \Delta T.
  • Explicando: \beta significa “porcentagem (fração) do volume que muda por grau de temperatura”. Para pequenas \Delta T podemos linearizar e usar essa fórmula diretamente.

Passo 3

Relação entre volume do líquido e altura do column do barômetro:
  • Se a secção transversal do tubo tem área A (constante porque desprezamos dilatação do vidro), então o volume do líquido no tubo é
V = A h,
onde h é a altura da coluna.
  • Ao mudar a temperatura, \Delta V = A\,\Delta h. Dividindo por V obtemos
\frac{\Delta V}{V}=\frac{A\,\Delta h}{A\,h}=\frac{\Delta h}{h}.
  • Conclusão intermediária: a variação relativa do volume é igual à variação relativa da altura: \dfrac{\Delta V}{V}=\dfrac{\Delta h}{h}.

Passo 4

Usar a definição de \beta junto com a relação volume–altura:
  • Pela definição de \beta temos \dfrac{\Delta V}{V}=\beta\,\Delta T.
  • Usando \dfrac{\Delta V}{V}=\dfrac{\Delta h}{h} do passo anterior, obtemos imediatamente
\frac{\Delta h}{h}=\beta\,\Delta T.
  • Multiplicando por h surge a fórmula desejada:
\Delta h=\beta\,h\,\Delta T.

Passo 5

Comentário físico rápido (opcional para entendimento):
  • Outra visão equivalente: a pressão hidroestática no fundo da coluna é p=\rho g h. Como p é constante e g também, tem-se h\propto 1/\rho. A massa do líquido é constante, então ao aumentar o volume a densidade \rho reduz conforme \Delta\rho/\rho=-\Delta V/V=-\beta\Delta T. Isso leva a \Delta h/h=-\Delta\rho/\rho=\beta\Delta T, mesma conclusão.
  • Observação sobre sinal: se a temperatura aumenta ( \Delta T>0) o volume cresce, a densidade diminui e, sob pressão constante, a coluna sobe — portanto \Delta h>0, consistente com \Delta h=\beta h\Delta T.

Resposta

\Delta h=\beta\,h\,\Delta T

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