(Pizza de Steiner) O grande geômetra alemão Jacob Steiner (1796-1863) propôs e resolveu, em 1826, o seguinte problema: “Qual é o maior número de partes em que se pode dividir o plano com
cortes retos?”
Pensando o plano como se fosse uma grande pizza, temos uma explicação para o nome do problema. Assim, denotando por
o número máximo de regiões em que
retas podem dividir um plano, responda:
a) Caracterize
recursivamente.
b) Resolva a recorrência encontrada no item a).
c) Obtenha o número máximo de regiões que 50 retas podem dividir o plano.
a) Caracterize
b) Resolva a recorrência encontrada no item a).
c) Obtenha o número máximo de regiões que 50 retas podem dividir o plano.
Passo 1
O enunciado pergunta pelo número máximo de regiões em que
retas podem partir o plano. Esse é o famoso problema de Steiner, cujo conteúdo envolve recorrência e progressão aritmética. Vamos primeiro descobrir a relação recursiva entre
e
, depois resolver essa recorrência e por fim calcular o caso
.
Passo 2
Quando temos
retas no plano, elas formam
regiões. Ao traçar a
-ésima reta genericamente, ela intersecta cada uma das
anteriores em pontos distintos, criando exatamente
segmentos sobre ela. Cada segmento adiciona 1 região nova. Logo, o acréscimo total de regiões é
, e obtemos a recorrência
com condição inicial
(sem retas, o plano é uma única região).
Passo 3
Para resolver
somamos os incrementos de
a
:
Passo 4
No caso
, basta substituir na fórmula fechada:
Resposta
a)
,
.
b)
c)
b)
c)