(Pizza de Steiner) O grande geômetra alemão Jacob Steiner (1796-1863) propôs e resolveu, em 1826, o seguinte problema: “Qual é o maior número de partes em que se pode dividir o plano com n cortes retos?”
Pensando o plano como se fosse uma grande pizza, temos uma explicação para o nome do problema. Assim, denotando por x_{n} o número máximo de regiões em que n retas podem dividir um plano, responda:
a) Caracterize x_{n} recursivamente.
b) Resolva a recorrência encontrada no item a).
c) Obtenha o número máximo de regiões que 50 retas podem dividir o plano.

Passo 1

O enunciado pergunta pelo número máximo de regiões em que n retas podem partir o plano. Esse é o famoso problema de Steiner, cujo conteúdo envolve recorrência e progressão aritmética. Vamos primeiro descobrir a relação recursiva entre x_n e x_{n-1}, depois resolver essa recorrência e por fim calcular o caso n=50.

Passo 2

Quando temos n-1 retas no plano, elas formam x_{n-1} regiões. Ao traçar a n-ésima reta genericamente, ela intersecta cada uma das n-1 anteriores em pontos distintos, criando exatamente n segmentos sobre ela. Cada segmento adiciona 1 região nova. Logo, o acréscimo total de regiões é n, e obtemos a recorrência
x_n = x_{n-1} + n
com condição inicial
x_0 = 1
(sem retas, o plano é uma única região).

Passo 3

Para resolver
x_n = x_{n-1} + n,\quad x_0=1,
somamos os incrementos de 1 a n:
x_n = x_0 + \sum_{k=1}^n k = 1 + \frac{n(n+1)}{2}.

Passo 4

No caso n=50, basta substituir na fórmula fechada:
x_{50} = 1 + \frac{50\cdot51}{2} = 1 + 1275 = 1276.

Resposta

a) x_0=1, \;x_n = x_{n-1} + n.
b) x_n = 1 + \dfrac{n(n+1)}{2}.
c) x_{50} = 1276.

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