Observe a disposição, abaixo, da sequência dos números naturais ímpares:
1 a linha: 1
2 a linha: 3-5
3a linha: 7-9-11
4 a linha: 13 - 15 - 17 - 19
5 a linha: 21 - 23 - 25 - 27 - 29
Determine o quarto termo da vigésima linha. (Dica: Resolver a recorrência que é obtida a partir dos primeiros temos de cada linha).
1 a linha: 1
2 a linha: 3-5
3a linha: 7-9-11
4 a linha: 13 - 15 - 17 - 19
5 a linha: 21 - 23 - 25 - 27 - 29
Passo 1
O enunciado mostra que estamos dispondo os números naturais ímpares em linhas, de modo que a n-ésima linha tem
termos consecutivos (diferença 2). Pede-se o quarto termo da vigésima linha. Para isso, vamos modelar o primeiro termo de cada linha por uma recorrência e, em seguida, obter sua forma fechada.
Passo 2
Seja
o primeiro termo da n-ésima linha. Como a linha
tem
termos de diferença 2, o último termo é
e o primeiro termo da próxima linha é o ímpar seguinte, isto é,
Também temos
Passo 3
Para resolver a recorrência
somamos de
até
:
Passo 4
O primeiro termo da 20ª linha é
Como os termos são consecutivos de diferença 2, o quarto termo vale