Observe a disposição, abaixo, da sequência dos números naturais ímpares:
1 a linha: 1
2 a linha: 3-5
3a linha: 7-9-11
4 a linha: 13 - 15 - 17 - 19
5 a linha: 21 - 23 - 25 - 27 - 29
Determine o quarto termo da vigésima linha. (Dica: Resolver a recorrência que é obtida a partir dos primeiros temos de cada linha).

Passo 1

O enunciado mostra que estamos dispondo os números naturais ímpares em linhas, de modo que a n-ésima linha tem n termos consecutivos (diferença 2). Pede-se o quarto termo da vigésima linha. Para isso, vamos modelar o primeiro termo de cada linha por uma recorrência e, em seguida, obter sua forma fechada.

Passo 2

Seja a_n o primeiro termo da n-ésima linha. Como a linha n tem n termos de diferença 2, o último termo é
a_n + 2(n-1),
e o primeiro termo da próxima linha é o ímpar seguinte, isto é,
a_{n+1} = \bigl(a_n + 2(n-1)\bigr) + 2 = a_n + 2n.
Também temos
a_1 = 1.

Passo 3

Para resolver a recorrência
a_{n+1} = a_n + 2n,\quad a_1=1,
somamos de k=1 até n-1:
a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}2k = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1}k = 1 + 2\cdot\frac{(n-1)n}{2} = n^2 - n + 1.

Passo 4

O primeiro termo da 20ª linha é
a_{20} = 20^2 - 20 + 1 = 381.
Como os termos são consecutivos de diferença 2, o quarto termo vale
a_{20} + 2(4-1) = 381 + 6 = 387.

Resposta

387

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