Considere uma distribuição cilíndrica com densidade de carga uniforme rho, comprimento infinito e raio a. Determine o campo elétrico para r>a e r<a.

Passo 1

Então, a questão pede pra gente achar o campo elétrico de um cilindro infinito com densidade de carga uniforme ρ e raio a, tanto dentro (r<a) quanto fora (r>a). O assunto é Lei de Gauss em eletrostática, e vamos precisar usar a superfície gaussiana cilíndrica e o fato de simetria para dizer que o campo só tem componente radial.

Passo 2

Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio r e comprimento L. A ideia da Lei de Gauss é usar
oint!Ecdot dA=Qintvarepsilon0
e analisar duas situações: r menor que a e r maior que a.

Passo 3

Para r<a, o cilindro gaussiano intercepta só parte da carga. O volume dentro da superfície é πr²L, então a carga encerrada é
Qint=rho,l(pi r^2Lr)
Como, por simetria, o campo E é radial e constante em módulo nessa superfície, o fluxo é
Phi=E,(2pi rL)
Logo, aplicando a Lei de Gauss:

Passo 4

A gente tem
E,(2pi rL)=rho,pi r^2Lvarepsilon0
de onde sai, para r<a,

Passo 5

Isolando E, fica
E=rho,r2varepsilon0
no sentido radial ( r).

Passo 6

Agora para r>a, o cilindro gaussiano engloba toda a carga do raio a (o resto é vazio). A carga total encerrada vira
Qint=rho,(pi a^2L)
O fluxo continua sendo E(2pi rL) e, aplicando Gauss:

Passo 7

Temos
E,(2pi rL)=rho,pi a^2Lvarepsilon0
que leva a

Passo 8

Isolando E para r>a, dá
E=rho,a^22varepsilon0,r
outro no sentido radial ( r).

Resposta

O campo elétrico resultante, apontando radialmente, é:
E(r)= dfracrho,r2varepsilon0,r, & r<a, dfracrho,a^22varepsilon0,r,r, & r>a

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