Considere uma distribuição cilíndrica com densidade de carga uniforme
, comprimento infinito e raio
. Determine o campo elétrico para
e
.
Passo 1
Então, a questão pede pra gente achar o campo elétrico de um cilindro infinito com densidade de carga uniforme ρ e raio a, tanto dentro (r<a) quanto fora (r>a). O assunto é Lei de Gauss em eletrostática, e vamos precisar usar a superfície gaussiana cilíndrica e o fato de simetria para dizer que o campo só tem componente radial.
Passo 2
Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio r e comprimento L. A ideia da Lei de Gauss é usar
e analisar duas situações: r menor que a e r maior que a.
Passo 3
Para r<a, o cilindro gaussiano intercepta só parte da carga. O volume dentro da superfície é πr²L, então a carga encerrada é
Como, por simetria, o campo
é radial e constante em módulo nessa superfície, o fluxo é
Logo, aplicando a Lei de Gauss:
Passo 4
A gente tem
de onde sai, para r<a,
Passo 5
Isolando E, fica
no sentido radial (
).
Passo 6
Agora para r>a, o cilindro gaussiano engloba toda a carga do raio a (o resto é vazio). A carga total encerrada vira
O fluxo continua sendo
e, aplicando Gauss:
Passo 7
Temos
que leva a
Passo 8
Isolando E para r>a, dá
outro no sentido radial (
).
Resposta
O campo elétrico resultante, apontando radialmente, é: