Um certo campo vetorial é dado em coordenadas cartesianas por
a) Quais devem ser os valores de
e
para que esse campo possa representar um campo eletrostático?
b) Na condição anterior, determine uma possível expressão para o potencial eletrostático desse campo.
b) Na condição anterior, determine uma possível expressão para o potencial eletrostático desse campo.
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial
e pede (a) os valores de
para que ele possa ser um campo eletrostático (ou seja, conservativo, satisfazendo
) e (b) um potencial eletrostático
tal que
.
Passo 2
Escrevemos as componentes de
:
Para um campo conservativo precisamos que
isto é, cada componente do rotacional deve ser zero.
Passo 3
Calculamos
:
Igualando
para todo
, obtemos o sistema
Passo 4
Da primeira equação vem
.
Da segunda, .
Da terceira, .
A quarta equação fica
, consistente.
Logo
Da segunda,
Da terceira,
A quarta equação
Logo
Passo 5
Com esses valores,
e queremos
tal que
Integramos em
:
Derivando essa expressão em
e igualando a
:
logo
Fica
Por fim, derivando em
e igualando a
determina
, ou seja
constante.
Resposta
a)
b) Uma escolha de potencial é
b) Uma escolha de potencial é
com
constante arbitrária.