Um certo campo vetorial é dado em coordenadas cartesianas por
\mathbf{E}=\alpha x y x \hat{\mathbf{x}}+\left(\beta x^{2}+3 y z\right) z \hat{\mathbf{y}}+\left(2 x^{2}+\gamma y z\right) y \hat{\mathbf{z}}
a) Quais devem ser os valores de \alpha, \beta e \gamma para que esse campo possa representar um campo eletrostático?
b) Na condição anterior, determine uma possível expressão para o potencial eletrostático desse campo.

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial
\mathbf{E}=\bigl(\alpha\,x\,y\,z\bigr)\,\hat{\mathbf{x}} +\bigl(\beta\,x^{2}+3\,y\,z\bigr)z\,\hat{\mathbf{y}} +\bigl(2\,x^{2}+\gamma\,y\,z\bigr)y\,\hat{\mathbf{z}}
e pede (a) os valores de \alpha,\beta,\gamma para que ele possa ser um campo eletrostático (ou seja, conservativo, satisfazendo \nabla\times\mathbf{E}=0) e (b) um potencial eletrostático \varphi tal que \mathbf{E}=-\nabla\varphi.

Passo 2

Escrevemos as componentes de \mathbf{E}:
E_x=\alpha\,x\,y\,z,\quad E_y=\beta\,x^{2}z+3\,y\,z^{2},\quad E_z=2\,x^{2}y+\gamma\,y^{2}z.
Para um campo conservativo precisamos que
\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0},
isto é, cada componente do rotacional deve ser zero.

Passo 3

Calculamos \nabla\times\mathbf{E}=(C_x,C_y,C_z):
C_x=\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z} =(2\,x^{2}+2\,\gamma\,y\,z)-(\beta\,x^{2}+6\,y\,z) =(2-\beta)x^{2}+(2\gamma-6)\,y\,z,
C_y=\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x} =(\alpha\,x\,y)-4\,x\,y =(\alpha-4)\,x\,y,
C_z=\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y} =(2\beta\,x\,z)-(\alpha\,x\,z) =(2\beta-\alpha)\,x\,z.
Igualando C_x=C_y=C_z=0 para todo (x,y,z), obtemos o sistema
2-\beta=0,\quad 2\gamma-6=0,\quad \alpha-4=0,\quad 2\beta-\alpha=0.

Passo 4

Da primeira equação vem \beta=2.
Da segunda, \gamma=3.
Da terceira, \alpha=4.
A quarta equação 2\beta-\alpha=0 fica 2\cdot2-4=0, consistente.
Logo
\boxed{\alpha=4,\quad \beta=2,\quad \gamma=3.}

Passo 5

Com esses valores,
E_x=4\,x\,y\,z,\quad E_y=2\,x^{2}z+3\,y\,z^{2},\quad E_z=2\,x^{2}y+3\,y^{2}z,
e queremos \varphi tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=-E_x,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=-E_y,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=-E_z.
Integramos em x:
\varphi(x,y,z)=\int -4\,x\,y\,z\,dx=-2\,x^{2}y\,z+g(y,z).
Derivando essa expressão em y e igualando a -E_y:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =-2\,x^{2}z+\frac{\partial g}{\partial y} \overset!=-(2\,x^{2}z+3\,y\,z^{2}) \;\Longrightarrow\; \frac{\partial g}{\partial y}=-3\,y\,z^{2},
logo
g(y,z)=-\tfrac{3}{2}\,y^{2}z^{2}+h(z).
Fica
\varphi(x,y,z)=-2\,x^{2}y\,z-\tfrac{3}{2}\,y^{2}z^{2}+h(z).
Por fim, derivando em z e igualando a -E_z determina h'(z)=0, ou seja h constante.

Resposta

a) \alpha=4,\;\beta=2,\;\gamma=3.
b) Uma escolha de potencial é
\boxed{\varphi(x,y,z)=-2\,x^{2}y\,z-\tfrac{3}{2}\,y^{2}z^{2}+C,}
com C constante arbitrária.

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