Um disco de massa m_{1}(\mathrm{~kg}) desliza em um círculo de raio r sobre uma messa sem atrito, enquanto está sujeito a um cilindro de massa M=3 m_{1} por meio de uma corda que se estende através de um buraco sobre a messa. Desenhe o diagrama de corpo livre para o disco e para o cilindro, respectivamente. Qual é o valor da tensão na corda e o valor da velocidade que mantêm esse cilindro em repouso? Considere o disco com massa m_{1}=2 k g e o raio do círculo r=0,3 m.

Passo 1

O enunciado descreve um disco de massa m_{1} que desliza sem atrito em um círculo de raio r sobre uma mesa, ligado por uma corda a um cilindro de massa M=3m_{1} que fica pendurado num orifício. Precisamos (i) esboçar o diagrama de corpo-livre de cada objeto, (ii) aplicar a 2ª lei de Newton para achar a tensão T, e (iii) usar a condição de movimento circular para obter a velocidade v que mantém o cilindro em repouso.

Passo 2

Cilindro (em repouso): forças verticais apenas. Como não há aceleração,
\sum F_{y}=0 \quad\Rightarrow\quad T - M\,g = 0 \quad\Rightarrow\quad T = M\,g.

Passo 3

Disco (movimento circular uniforme): diagrama de corpo-livre joga peso m_{1}g para baixo e normal N para cima (que se anulam), e tensão T horizontal para o centro. Na direção radial aplicamos
\sum F_{r} = m_{1}a_{r} \quad\text{com}\quad a_{r} = \frac{v^{2}}{r}
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T = m_{1}\,\frac{v^{2}}{r}.

Passo 4

Igualando as duas expressões de T:
m_{1}\,\frac{v^{2}}{r} \;=\; M\,g \quad\Rightarrow\quad v^{2} = \frac{M\,g\,r}{m_{1}} = 3\,g\,r \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{3\,g\,r}.

Passo 5

Substituindo m_{1}=2\;\mathrm{kg}, r=0{,}3\;\mathrm{m}, g=9{,}8\;\mathrm{m/s^{2}} e M=6\;\mathrm{kg}:
T = M\,g = 6\cdot9{,}8 = 58{,}8\;\mathrm{N},
v = \sqrt{3\cdot9{,}8\cdot0{,}3} = \sqrt{8{,}82}\approx2{,}97\;\mathrm{m/s}.

Resposta

Tensão na corda: T = 58{,}8\;\mathrm{N}
Velocidade do disco: v \approx 2{,}97\;\mathrm{m/s}

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