Considere um escoamento com o seguinte campo de velocidades:
\mathbf{v}=(x+y) \mathbf{i}+2 x \mathbf{j}+\mathbf{k}
Obtenha a equação da linha de trajetória para o ponto material que, no instante inicial, ocupa o ponto
((1,1,0)).

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a equação da linha de trajetória (pathline) do ponto material que, no instante inicial, ocupa o ponto (1,1,0).
Dados fornecidos:
\mathbf{v}=(x+y)\,\mathbf{i}+2x\,\mathbf{j}+\mathbf{k}.
Condições iniciais (assumo instante inicial t=0):
x(0)=1,\quad y(0)=1,\quad z(0)=0.
O que preciso retornar: a equação da linha de trajetória — isto é, as coordenadas do ponto material (x(t),y(t),z(t)) ao longo do tempo que satisfaçam o campo de velocidades e as condições iniciais.

Passo 2

Conceito e montagem do sistema de equações: a linha de trajetória de uma partícula é a solução do sistema de equações diferenciais ordinárias obtido igualando as derivadas temporais das coordenadas à velocidade local do fluido. Assim escrevemos
\frac{dx}{dt}=x+y,
\frac{dy}{dt}=2x,
\frac{dz}{dt}=1,
com as condições iniciais dadas em t=0.
Explicação didática: cada equação diz que a taxa de variação temporal da coordenada é igual à componente correspondente do campo de velocidades no ponto atual. Para resolver, vamos primeiro resolver o sistema para x(t) e y(t) (são acopladas) e depois integrar z (é independente).

Passo 3

Desacoplamento do sistema x y: da primeira equação temos
y=\frac{dx}{dt}-x.
Vou usar isto na segunda equação. Diferenciando y em relação a t obtém-se
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dx}{dt}-x\right)=\frac{d^2x}{dt^2}-\frac{dx}{dt}.
Pela segunda equação do sistema, \dfrac{dy}{dt}=2x. Igualando:
\frac{d^2x}{dt^2}-\frac{dx}{dt}=2x.
Reescrevendo:
\frac{d^2x}{dt^2}-\frac{dx}{dt}-2x=0.
Comentário sobre o método: obtivemos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes para x(t). A técnica padrão é resolver a equação característica associada.

Passo 4

Resolvendo a equação característica: supondo solução do tipo x(t)=e^{rt}, a característica é
r^2-r-2=0.
Esta equação fatoriza como (r-2)(r+1)=0, portanto as raízes são r=2 e r=-1. Assim a solução geral para x(t) é
x(t)=A e^{2t}+B e^{-t},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Obtenção de y(t) em termos de A,B: lembrando que y=\dfrac{dx}{dt}-x, calculo \dfrac{dx}{dt}:
\frac{dx}{dt}=2A e^{2t}-B e^{-t}.
Logo
y(t)=\frac{dx}{dt}-x(t)=(2A e^{2t}-B e^{-t})-(A e^{2t}+B e^{-t})=A e^{2t}-2B e^{-t}.

Passo 6

Aplicando as condições iniciais em t=0\): temos \(x(0)=A+B=1\) e \(y(0)=A-2B=1\). Resolvendo o sistema \[\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] A-2B=1, \end{cases}
subtraindo as equações: (A+B)-(A-2B)=1-1\Rightarrow 3B=0\Rightarrow B=0\]. Então \(A=1. Portanto
x(t)=e^{2t},\qquad y(t)=e^{2t}.]

Passo 7

Resolvendo z(t): a equação é \dfrac{dz}{dt}=1. Integro em t:
z(t)=t+C.
Usando z(0)=0 obtemos C=0. Assim
z(t)=t.

Passo 8

Interpretação e forma implícita da linha de trajetória: a solução paramétrica é
x(t)=e^{2t},\quad y(t)=e^{2t},\quad z(t)=t.
Podemos eliminar o parâmetro t para escrever uma relação entre x,y,z. Como x=e^{2t}, temos t=\tfrac{1}{2}\ln x (observando x>0 para essa expressão por e^{2t}>0). Como y=x (já que x(t)=y(t)), obtemos a forma implícita
y=x,\qquad z=\tfrac{1}{2}\ln x.

Resposta

(x(t),y(t),z(t))=(e^{2t},\,e^{2t},\,t)
ou equivalentemente
y=x,\quad z=\tfrac{1}{2}\ln x (com x>0).

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