Considere um escoamento com o seguinte campo de velocidades:
Obtenha a equação da linha de trajetória para o ponto material que, no instante inicial, ocupa o ponto
((1,1,0)).
((1,1,0)).
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a equação da linha de trajetória (pathline) do ponto material que, no instante inicial, ocupa o ponto
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Condições iniciais (assumo instante inicial
):
O que preciso retornar: a equação da linha de trajetória — isto é, as coordenadas do ponto material
ao longo do tempo que satisfaçam o campo de velocidades e as condições iniciais.
Passo 2
Conceito e montagem do sistema de equações: a linha de trajetória de uma partícula é a solução do sistema de equações diferenciais ordinárias obtido igualando as derivadas temporais das coordenadas à velocidade local do fluido. Assim escrevemos
com as condições iniciais dadas em
.
Explicação didática: cada equação diz que a taxa de variação temporal da coordenada é igual à componente correspondente do campo de velocidades no ponto atual. Para resolver, vamos primeiro resolver o sistema para e
(são acopladas) e depois integrar
(é independente).
Explicação didática: cada equação diz que a taxa de variação temporal da coordenada é igual à componente correspondente do campo de velocidades no ponto atual. Para resolver, vamos primeiro resolver o sistema para
Passo 3
Desacoplamento do sistema
–
: da primeira equação temos
Vou usar isto na segunda equação. Diferenciando
em relação a
obtém-se
Pela segunda equação do sistema,
. Igualando:
Reescrevendo:
Comentário sobre o método: obtivemos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes para
. A técnica padrão é resolver a equação característica associada.
Passo 4
Resolvendo a equação característica: supondo solução do tipo
, a característica é
Esta equação fatoriza como
, portanto as raízes são
e
. Assim a solução geral para
é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Obtenção de
em termos de
: lembrando que
, calculo
:
Logo
Passo 6
Aplicando as condições iniciais em
subtraindo as equações:
. Portanto
Passo 7
Resolvendo
: a equação é
. Integro em
:
Usando
obtemos
. Assim
Passo 8
Interpretação e forma implícita da linha de trajetória: a solução paramétrica é
Podemos eliminar o parâmetro
para escrever uma relação entre
. Como
, temos
(observando
para essa expressão por
). Como
(já que
), obtemos a forma implícita
Resposta
ou equivalentemente