Considere a região fixa no espaço \Omega caracterizada por 0<x<L, 0<y<L, 0<z<L. Suponha que as únicas superfícies não impermeáveis são as superfícies y=0 e y=L, para as quais a distribuição de velocidades é dada por \mathbf{v}=(\alpha(L-y) x+U) \mathbf{i}+(\alpha(L-y) z+\beta y-U) \mathbf{j}+U \mathbf{k} e suponha a densidade constante. Que relação deve haver entre as constantes \alpha e \beta para que a massa contida em \Omega seja invariante no tempo? Sugestão: empregue a forma global da equação da continuidade. São dados apenas U e L.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Região fixa no espaço: 0<x<L,\;0<y<L,\;0<z<L.
  • Apenas as superfícies y=0 e y=L não são impermeáveis; as outras superfícies têm velocidade normal nula.
  • A distribuição de velocidade nas superfícies (e presumivelmente em toda a vizinhança) é
\mathbf{v}=(\alpha(L-y)x+U)\,\mathbf{i}+(\alpha(L-y)z+\beta y-U)\,\mathbf{j}+U\,\mathbf{k}.
  • A densidade é constante.
  • Pergunta: que relação deve haver entre \alpha e \beta para que a massa contida em \Omega seja invariante no tempo?
Informações relevantes listadas:
  • Volume fixo (controle fixo) \Omega de aresta L.
  • Densidade constante (podemos tratá-la como constante \rho e cancelá-la nas equações de fluxo).
  • Só há fluxo de massa através de y=0 e y=L (as outras faces são impermeáveis).
  • Precisamos que a variação temporal da massa contida em \Omega seja zero (massa invariante).

Passo 2

Escrevendo a forma global da equação da continuidade e simplificando pela densidade constante.
A forma integral (global) da equação da continuidade para um volume fixo \Omega é
\frac{d}{dt}\int_{\Omega}\rho\,dV + \int_{\partial\Omega}\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS = 0,
onde \mathbf{n} é o vetor normal exterior à superfície \partial\Omega.
Como queremos que a massa dentro de \Omega seja invariante no tempo, temos
\frac{d}{dt}\int_{\Omega}\rho\,dV = 0.
Com isso, a equação reduz-se a
\int_{\partial\Omega}\rho\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS = 0.
A densidade é constante e positiva, logo podemos dividir por \rho (ou simplesmente cancelá-la):
\int_{\partial\Omega}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dS = 0.
Isto significa que o fluxo volumétrico líquido através da superfície do volume deve ser zero.

Passo 3

Identificando as superfícies que contribuem para o integral e os vetores normais.
  • As faces em x=0, x=L, z=0, z=L são impermeáveis: o componente normal nessas faces é zero, então não contribuem para o integral.
  • Apenas y=0 e y=L contribuem. Para o cubo fixo:
    • Na face y=L, o vetor normal exterior é \mathbf{n}=\mathbf{j}.
    • Na face y=0, o vetor normal exterior é \mathbf{n}=-\mathbf{j}.
Portanto o integral de fluxo reduz-se a somar as contribuições dessas duas faces:
\int_{y=L}\mathbf{v}\cdot\mathbf{j}\,dS + \int_{y=0}\mathbf{v}\cdot(-\mathbf{j})\,dS = 0.
Isto pode ser reescrito como
\int_{y=L} v_y\,dS - \int_{y=0} v_y\,dS = 0,
ou seja
\int_{y=L} v_y\,dS = \int_{y=0} v_y\,dS.

Passo 4

Calculando v_y nas duas faces e os integrais sobre cada face.
A componente y da velocidade é
v_y=\alpha(L-y)z+\beta y - U.
  • Em y=L:
v_y(x,L,z)=\alpha(L-L)z+\beta L - U = \beta L - U.
Observe que é constante em x e z sobre a face y=L.
  • Em y=0:
v_y(x,0,z)=\alpha(L-0)z+\beta\cdot 0 - U = \alpha L z - U.
Aqui depende de z, mas não de x.
Agora os integrais de superfície sobre cada face. A área de cada face é L\times L = L^2. As integrais são duplas em x e z (cada um varia de 0 a L).
Integral sobre y=L:
\int_{y=L} v_y\,dS = \int_{x=0}^{L}\int_{z=0}^{L} (\beta L - U)\,dz\,dx = (\beta L - U)\,L^2 = \beta L^3 - U L^2.
Integral sobre y=0:
\int_{y=0} v_y\,dS = \int_{x=0}^{L}\int_{z=0}^{L} (\alpha L z - U)\,dz\,dx.
Primeiro integrar em z:
\int_{z=0}^{L} (\alpha L z - U)\,dz = \alpha L \int_{0}^{L} z\,dz - \int_{0}^{L}U\,dz = \alpha L \cdot \frac{L^2}{2} - U L = \frac{\alpha L^3}{2} - U L.
Agora integrar em x (fator constante em x), multiplicando por L:
\int_{x=0}^{L}\left(\frac{\alpha L^3}{2} - U L\right)dx = L\left(\frac{\alpha L^3}{2} - U L\right) = \frac{\alpha L^4}{2} - U L^2.

Passo 5

Igualando os fluxos e resolvendo para a relação entre \alpha e \beta.
A condição de massa invariante exige
\int_{y=L} v_y\,dS = \int_{y=0} v_y\,dS.
Substituindo os resultados:
\beta L^3 - U L^2 = \frac{\alpha L^4}{2} - U L^2.
Os termos -U L^2 aparecem em ambos os lados e cancelam:
\beta L^3 = \frac{\alpha L^4}{2}.
Dividindo ambos os lados por L^3 (sabendo que L>0):
\beta = \frac{\alpha L}{2}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida.
  • A relação \beta = \dfrac{\alpha L}{2} garante que o fluxo volumétrico total que entra pela face y=0 seja igual ao que sai pela face y=L, fazendo o fluxo líquido através de \partial\Omega igual a zero e, portanto, mantendo a massa no volume constante no tempo.
  • Observação útil para prova: o termo U cancela automaticamente entre as duas faces devido à mesma contribuição -U subtraída de áreas iguais, por isso a relação final não depende de U.

Resposta

\beta=\dfrac{\alpha L}{2}

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