Considere a região fixa no espaço
caracterizada por
. Suponha que as únicas superfícies não impermeáveis são as superfícies
e
, para as quais a distribuição de velocidades é dada por
e suponha a densidade constante. Que relação deve haver entre as constantes
e
para que a massa contida em
seja invariante no tempo? Sugestão: empregue a forma global da equação da continuidade. São dados apenas
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Região fixa no espaço:
. - Apenas as superfícies
e não são impermeáveis; as outras superfícies têm velocidade normal nula. - A distribuição de velocidade nas superfícies (e presumivelmente em toda a vizinhança) é
- A densidade é constante.
- Pergunta: que relação deve haver entre
e para que a massa contida em seja invariante no tempo?
Informações relevantes listadas:
- Volume fixo (controle fixo)
de aresta . - Densidade constante (podemos tratá-la como constante
e cancelá-la nas equações de fluxo). - Só há fluxo de massa através de
e (as outras faces são impermeáveis). - Precisamos que a variação temporal da massa contida em
seja zero (massa invariante).
Passo 2
Escrevendo a forma global da equação da continuidade e simplificando pela densidade constante.
A forma integral (global) da equação da continuidade para um volume fixo
é
onde
é o vetor normal exterior à superfície
.
Como queremos que a massa dentro de
seja invariante no tempo, temos
Com isso, a equação reduz-se a
A densidade é constante e positiva, logo podemos dividir por
(ou simplesmente cancelá-la):
Isto significa que o fluxo volumétrico líquido através da superfície do volume deve ser zero.
Passo 3
Identificando as superfícies que contribuem para o integral e os vetores normais.
- As faces em
, , , são impermeáveis: o componente normal nessas faces é zero, então não contribuem para o integral. - Apenas
e contribuem. Para o cubo fixo: - Na face
, o vetor normal exterior é . - Na face
, o vetor normal exterior é .
- Na face
Portanto o integral de fluxo reduz-se a somar as contribuições dessas duas faces:
Isto pode ser reescrito como
ou seja
Passo 4
Calculando
nas duas faces e os integrais sobre cada face.
A componente
da velocidade é
- Em
:
Observe que é constante em
e
sobre a face
.
- Em
:
Aqui depende de
, mas não de
.
Agora os integrais de superfície sobre cada face. A área de cada face é
. As integrais são duplas em
e
(cada um varia de
a
).
Integral sobre
:
Integral sobre
:
Primeiro integrar em
:
Agora integrar em
(fator constante em
), multiplicando por
:
Passo 5
Igualando os fluxos e resolvendo para a relação entre
e
.
A condição de massa invariante exige
Substituindo os resultados:
Os termos
aparecem em ambos os lados e cancelam:
Dividindo ambos os lados por
(sabendo que
):
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida.
- A relação
garante que o fluxo volumétrico total que entra pela face seja igual ao que sai pela face , fazendo o fluxo líquido através de igual a zero e, portanto, mantendo a massa no volume constante no tempo. - Observação útil para prova: o termo
cancela automaticamente entre as duas faces devido à mesma contribuição subtraída de áreas iguais, por isso a relação final não depende de .