Certo dia, o pai de Carlos emprestou-lhe o cartão de crédito e revelou a senha do mesmo, porém Carlos esqueceu a senha revelada. Apenas lembrou-se de que os 4 dígitos da senha eram distintos e de que o segundo dígito era igual a 4 vezes o primeiro. Tentando chutar a senha do cartão de seu pai, até quantas vezes Carlos pode errar esse chute, sabendo que ele nunca repete um chute errado?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
-
Informações dadas:
- A senha tem 4 dígitos.
- Os 4 dígitos são distintos.
- O segundo dígito é igual a 4 vezes o primeiro dígito.
-
Pergunta:
- Até quantas vezes Carlos pode errar ao chutar a senha, sabendo que ele nunca repete um chute errado?
Passo 2
Entender quais valores o primeiro dígito pode assumir, a partir da condição sobre o segundo dígito.
- O primeiro dígito é um algarismo decimal, então pode ser qualquer valor de
a . - O segundo dígito deve ser
vezes o primeiro, ou seja, se chamarmos o primeiro dígito de e o segundo de , temos . - Como
também precisa ser um algarismo decimal, devemos ter . Isso limita aos valores possíveis (porque ). - Porém os dígitos têm de ser distintos. Se
então , o que violaria a condição “dígitos distintos”. Logo . - Portanto os únicos valores possíveis para
são e , com os pares correspondentes e .
Passo 3
Contar, para cada par
fixo, quantas opções restam para os 3.º e 4.º dígitos.
- Explicação do princípio de contagem (regra do produto): se numa escolha temos
possibilidades e depois, indepententemente, temos possibilidades, o total de combinações é . - Aqui, após fixar
e , restam algarismos disponíveis para o 3.º dígito (porque não podemos usar nem ). - Depois de escolher o 3.º dígito, para o 4.º dígito restam
algarismos (pois não podemos repetir nenhum dos três já usados). - Pelo princípio do produto, para cada par
há possibilidades para os dígitos 3 e 4. - Calculando:
.
Passo 4
Calcular o total de senhas possíveis que satisfazem as condições.
- Como existem
pares possíveis para (ou seja e ), e para cada par há possibilidades para os outros dois dígitos, o total é
Passo 5
Interpretar o que a pergunta pede em termos desse total.
- Carlos tenta chutar a senha sem repetir chutes errados. No pior caso (o que maximiza o número de erros antes de acertar), ele vai testar primeiro todas as senhas erradas e só então acertar na última tentativa válida.
- Portanto o número máximo de erros possíveis é o número total de senhas possíveis menos
(a tentativa correta). - Assim: