Certo dia, o pai de Carlos emprestou-lhe o cartão de crédito e revelou a senha do mesmo, porém Carlos esqueceu a senha revelada. Apenas lembrou-se de que os 4 dígitos da senha eram distintos e de que o segundo dígito era igual a 4 vezes o primeiro. Tentando chutar a senha do cartão de seu pai, até quantas vezes Carlos pode errar esse chute, sabendo que ele nunca repete um chute errado?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Informações dadas:
    • A senha tem 4 dígitos.
    • Os 4 dígitos são distintos.
    • O segundo dígito é igual a 4 vezes o primeiro dígito.
  • Pergunta:
    • Até quantas vezes Carlos pode errar ao chutar a senha, sabendo que ele nunca repete um chute errado?

Passo 2

Entender quais valores o primeiro dígito pode assumir, a partir da condição sobre o segundo dígito.
  • O primeiro dígito é um algarismo decimal, então pode ser qualquer valor de 0 a 9.
  • O segundo dígito deve ser 4 vezes o primeiro, ou seja, se chamarmos o primeiro dígito de a e o segundo de b, temos b = 4a.
  • Como b também precisa ser um algarismo decimal, devemos ter 0 \le 4a \le 9. Isso limita a aos valores possíveis 0,1,2 (porque 4\cdot3=12>9).
  • Porém os dígitos têm de ser distintos. Se a=0 então b=0, o que violaria a condição “dígitos distintos”. Logo a\neq 0.
  • Portanto os únicos valores possíveis para a são a=1 e a=2, com os pares correspondentes (a,b) = (1,4) e (2,8).

Passo 3

Contar, para cada par (a,b) fixo, quantas opções restam para os 3.º e 4.º dígitos.
  • Explicação do princípio de contagem (regra do produto): se numa escolha temos m possibilidades e depois, indepententemente, temos n possibilidades, o total de combinações é m\cdot n.
  • Aqui, após fixar a e b, restam 10-2=8 algarismos disponíveis para o 3.º dígito (porque não podemos usar a nem b).
  • Depois de escolher o 3.º dígito, para o 4.º dígito restam 7 algarismos (pois não podemos repetir nenhum dos três já usados).
  • Pelo princípio do produto, para cada par (a,b) 8\cdot 7 possibilidades para os dígitos 3 e 4.
  • Calculando: 8\cdot 7 = 56.

Passo 4

Calcular o total de senhas possíveis que satisfazem as condições.
  • Como existem 2 pares possíveis para (a,b) (ou seja (1,4) e (2,8)), e para cada par há 56 possibilidades para os outros dois dígitos, o total é
2 \cdot 56 = 112.

Passo 5

Interpretar o que a pergunta pede em termos desse total.
  • Carlos tenta chutar a senha sem repetir chutes errados. No pior caso (o que maximiza o número de erros antes de acertar), ele vai testar primeiro todas as senhas erradas e só então acertar na última tentativa válida.
  • Portanto o número máximo de erros possíveis é o número total de senhas possíveis menos 1 (a tentativa correta).
  • Assim:
112 - 1 = 111.

Resposta

111

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