Um curso de idiomas oferece turmas para iniciantes em inglês, espanhol, italiano e alemão.
a) De quantas formas distintas um estudante pode matricular-se em três destes cursos?
b) De quantas formas distintas ele poderá matricular-se em três cursos, incluindo obrigatoriamente o de inglês?
a) De quantas formas distintas um estudante pode matricular-se em três destes cursos?
b) De quantas formas distintas ele poderá matricular-se em três cursos, incluindo obrigatoriamente o de inglês?
Passo 1
O enunciado diz que há turmas para iniciantes em quatro idiomas: inglês, espanhol, italiano e alemão. Ele pede duas coisas:
(a) De quantas formas distintas um estudante pode matricular-se em três destes cursos?
(b) De quantas formas distintas ele poderá matricular-se em três cursos, incluindo obrigatoriamente o de inglês?
(a) De quantas formas distintas um estudante pode matricular-se em três destes cursos?
(b) De quantas formas distintas ele poderá matricular-se em três cursos, incluindo obrigatoriamente o de inglês?
Informações relevantes que eu tenho do enunciado:
- Há exatamente quatro cursos disponíveis: inglês, espanhol, italiano e alemão.
- O estudante vai escolher exatamente três cursos (sem repetir nenhum).
- Em (b) existe a condição adicional de que o curso de inglês deve estar entre os três escolhidos.
Passo 2
Vamos entender o tipo de contagem que precisamos fazer. Aqui estamos escolhendo subconjuntos de cursos: por exemplo, escolher {inglês, espanhol, italiano} é a mesma coisa que escolher {italiano, inglês, espanhol} — a ordem não importa. Quando a ordem não importa e não há repetição, usamos combinações.
A combinação é uma maneira de contar quantos subconjuntos de tamanho
existem em um conjunto de tamanho
. Vou te ensinar a fórmula e também uma intuição simples para ela, para você poder usar no exame sem medo.
Passo 3
Fórmula das combinações: o número de maneiras de escolher
elementos dentre
sem considerar a ordem é dado por
Aqui:
-
(lê-se “n fatorial”) significa . Por exemplo, . -
é o fatorial de . -
é o fatorial de .
Intuição curta:
conta todas as maneiras de ordenar todos os
itens; dividimos por
porque dentro da escolha de
a ordem não importa, e dividimos por
porque não nos importam as ordens dos não-escolhidos. Outra intuição simples: escolher
dentre
é o mesmo que escolher quais
deixar de fora.
Passo 4
Resolver (a). Aqui
(os quatro idiomas) e
(queremos escolher três cursos). Aplicando a fórmula:
Calculemos passo a passo:
Substituindo:
Intuição rápida (sem fórmula): escolher 3 de 4 é o mesmo que escolher qual 1 deixar de fora — há 4 opções para o que deixar de fora — logo 4 maneiras.
Passo 5
Resolver (b). Agora há a restrição de que o curso de inglês deve ser incluído. Pense assim: já escolhemos o inglês, então precisamos escolher mais
cursos entre os demais
(espanhol, italiano, alemão). Portanto
e
. Aplicando a fórmula:
Calculando:
então
Intuição / listagem explícita (pra firmar): as três formas são {inglês, espanhol, italiano}, {inglês, espanhol, alemão} e {inglês, italiano, alemão} — exatamente
conjuntos.
Resposta
(a)
(b)
(b)