Um curso de idiomas oferece turmas para iniciantes em inglês, espanhol, italiano e alemão.
a) De quantas formas distintas um estudante pode matricular-se em três destes cursos?
b) De quantas formas distintas ele poderá matricular-se em três cursos, incluindo obrigatoriamente o de inglês?

Passo 1

O enunciado diz que há turmas para iniciantes em quatro idiomas: inglês, espanhol, italiano e alemão. Ele pede duas coisas:
(a) De quantas formas distintas um estudante pode matricular-se em três destes cursos?
(b) De quantas formas distintas ele poderá matricular-se em três cursos, incluindo obrigatoriamente o de inglês?
Informações relevantes que eu tenho do enunciado:
  • Há exatamente quatro cursos disponíveis: inglês, espanhol, italiano e alemão.
  • O estudante vai escolher exatamente três cursos (sem repetir nenhum).
  • Em (b) existe a condição adicional de que o curso de inglês deve estar entre os três escolhidos.

Passo 2

Vamos entender o tipo de contagem que precisamos fazer. Aqui estamos escolhendo subconjuntos de cursos: por exemplo, escolher {inglês, espanhol, italiano} é a mesma coisa que escolher {italiano, inglês, espanhol} — a ordem não importa. Quando a ordem não importa e não há repetição, usamos combinações.
A combinação é uma maneira de contar quantos subconjuntos de tamanho k existem em um conjunto de tamanho n. Vou te ensinar a fórmula e também uma intuição simples para ela, para você poder usar no exame sem medo.

Passo 3

Fórmula das combinações: o número de maneiras de escolher k elementos dentre n sem considerar a ordem é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui:
  • n! (lê-se “n fatorial”) significa n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times1. Por exemplo, 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
  • k! é o fatorial de k.
  • (n-k)! é o fatorial de n-k.
Intuição curta: n! conta todas as maneiras de ordenar todos os n itens; dividimos por k! porque dentro da escolha de k a ordem não importa, e dividimos por (n-k)! porque não nos importam as ordens dos não-escolhidos. Outra intuição simples: escolher k dentre n é o mesmo que escolher quais n-k deixar de fora.

Passo 4

Resolver (a). Aqui n=4 (os quatro idiomas) e k=3 (queremos escolher três cursos). Aplicando a fórmula:
\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{4!}{3!1!}.
Calculemos passo a passo:
4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24,\qquad 3!=3\cdot2\cdot1=6,\qquad 1!=1.
Substituindo:
\binom{4}{3}=\frac{24}{6\cdot1}=\frac{24}{6}=4.
Intuição rápida (sem fórmula): escolher 3 de 4 é o mesmo que escolher qual 1 deixar de fora — há 4 opções para o que deixar de fora — logo 4 maneiras.

Passo 5

Resolver (b). Agora há a restrição de que o curso de inglês deve ser incluído. Pense assim: já escolhemos o inglês, então precisamos escolher mais 2 cursos entre os demais 3 (espanhol, italiano, alemão). Portanto n=3 e k=2. Aplicando a fórmula:
\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{3!}{2!1!}.
Calculando:
3!=3\cdot2\cdot1=6,\qquad 2!=2,\qquad 1!=1,
então
\binom{3}{2}=\frac{6}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3.
Intuição / listagem explícita (pra firmar): as três formas são {inglês, espanhol, italiano}, {inglês, espanhol, alemão} e {inglês, italiano, alemão} — exatamente 3 conjuntos.

Resposta

(a) 4
(b) 3

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