(UFOP) No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • A senha tem quatro algarismos distintos.
  • O primeiro algarismo é 5.
  • O algarismo 6 aparece em alguma das outras três posições (ou seja, aparece em posição 2, 3 ou 4).
    O que o problema pede: determinar o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que, testando todas as possibilidades compatíveis com essas condições, dona Antônia tenha garantia de acertar a senha.

Passo 2

Vamos traduzir as condições para um problema de contagem: queremos contar todas as sequências de quatro algarismos (cada algarismo entre 0 e 9) que satisfaçam: primeiro algarismo =5, todos os quatro algarismos são distintos, e o algarismo 6 aparece em pelo menos uma das posições 2,3 ou 4. O número máximo de tentativas necessárias é exatamente o número de tais sequências possíveis.

Passo 3

Para contar, primeiro explico uma ideia básica de contagem que vamos usar: permutação sem repetição. Se temos n objetos diferentes e queremos escolher e ordenar k deles sem repetição, o número de maneiras é a permutação
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (lê-se " n fatorial") é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 1. Aqui n é o número de opções disponíveis e k é quantas posições ordenadas vamos preencher. Exemplo simples: se eu tenho 3 dígitos distintos \{1,2,3\} e quero preencher 2 posições diferentes, P(3,2)=3\cdot 2=6, que corresponde às listas (1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2).

Passo 4

Agora aplico essa ideia ao nosso problema. Como o primeiro algarismo já é fixo em 5, sobra preencher as posições 2,3,4 com algarismos distintos entre si e distintos de 5. Primeiro calculemos quantas sequências possíveis existem com primeiro algarismo 5, sem considerar ainda a presença obrigatória do 6.
Os algarismos disponíveis para as posições 2,3,4 são os 9 restantes de 0 a 9 excluindo o 5. Então o número de maneiras é
P(9,3)=9\cdot 8\cdot 7=504.

Passo 5

Agora contamos quantas dessas 504 sequências NÃO têm o algarismo 6 nas posições 2,3,4 (ou seja, o 6 não aparece em nenhuma posição além da primeira — mas a primeira já é 5, logo o 6 estaria ausente). Se proibimos o 6, restam 8 algarismos possíveis para as posições 2,3,4 (excluindo 5 e 6), e o número de sequências é
P(8,3)=8\cdot 7\cdot 6=336.

Passo 6

Como queremos apenas as sequências que têm o 6 em alguma das posições 2,3,4, subtraímos as que não têm 6 do total com primeiro algarismo 5:
504-336=168.
Portanto existem 168 senhas possíveis que satisfazem todas as condições.

Passo 7

(Confirmação alternativa, só para firmar a intuição.) Podemos também contar diretamente colocando o 6 em uma das três posições restantes: escolher a posição do 6 3 opções; nas duas posições restantes precisamos colocar dois algarismos distintos escolhidos entre os 8 algarismos que não são 5 nem 6, e isso pode ser feito de P(8,2)=8\cdot 7=56 maneiras. Multiplicando:
3\cdot 56 =168,
mesmo resultado — ótimo sinal de que está certo.

Resposta

168

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