(UFOP) No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- A senha tem quatro algarismos distintos.
- O primeiro algarismo é
. - O algarismo
aparece em alguma das outras três posições (ou seja, aparece em posição 2, 3 ou 4).
O que o problema pede: determinar o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que, testando todas as possibilidades compatíveis com essas condições, dona Antônia tenha garantia de acertar a senha.
Passo 2
Vamos traduzir as condições para um problema de contagem: queremos contar todas as sequências de quatro algarismos (cada algarismo entre
e
) que satisfaçam: primeiro algarismo
, todos os quatro algarismos são distintos, e o algarismo
aparece em pelo menos uma das posições
ou
. O número máximo de tentativas necessárias é exatamente o número de tais sequências possíveis.
Passo 3
Para contar, primeiro explico uma ideia básica de contagem que vamos usar: permutação sem repetição. Se temos
objetos diferentes e queremos escolher e ordenar
deles sem repetição, o número de maneiras é a permutação
onde
(lê-se "
fatorial") é o produto
. Aqui
é o número de opções disponíveis e
é quantas posições ordenadas vamos preencher. Exemplo simples: se eu tenho 3 dígitos distintos
e quero preencher 2 posições diferentes,
, que corresponde às listas
.
Passo 4
Agora aplico essa ideia ao nosso problema. Como o primeiro algarismo já é fixo em
, sobra preencher as posições
com algarismos distintos entre si e distintos de
. Primeiro calculemos quantas sequências possíveis existem com primeiro algarismo
, sem considerar ainda a presença obrigatória do
.
Os algarismos disponíveis para as posições
são os
restantes de
a
excluindo o
. Então o número de maneiras é
Passo 5
Agora contamos quantas dessas
sequências NÃO têm o algarismo
nas posições
(ou seja, o
não aparece em nenhuma posição além da primeira — mas a primeira já é
, logo o
estaria ausente). Se proibimos o
, restam
algarismos possíveis para as posições
(excluindo
e
), e o número de sequências é
Passo 6
Como queremos apenas as sequências que têm o
em alguma das posições
, subtraímos as que não têm
do total com primeiro algarismo
:
Portanto existem
senhas possíveis que satisfazem todas as condições.
Passo 7
(Confirmação alternativa, só para firmar a intuição.) Podemos também contar diretamente colocando o
em uma das três posições restantes: escolher a posição do
dá
opções; nas duas posições restantes precisamos colocar dois algarismos distintos escolhidos entre os
algarismos que não são
nem
, e isso pode ser feito de
maneiras. Multiplicando:
mesmo resultado — ótimo sinal de que está certo.