2- Encontre o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(2 x^3-e^y) i+(2 y^3+sen z) j+(2 z^3-x y) k através da esfera x^2+y^2+z^2=4 com orientação para for a.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de um campo vetorial através da superfície da esfera x^2+y^2+z^2=4, com orientação para fora. O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência, que nos permite transformar o fluxo de superfície em uma integral tripla do divergente no volume interno à esfera.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar o divergente do campo F(x,y,z)=(2x^3-e^y),i + (2y^3+sen z),j + (2z^3 - xy),k. Lembrando que nablacdot F=partialpartial x(2x^3-e^y)+partialpartial y(2y^3+sen z)+partialpartial z(2z^3-xy), temos:
nablacdot F = 6x^2 + 6y^2 + 6z^2 = 6(x^2+y^2+z^2)

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é dado por integral duplaSFcdot dS = integral triplaV(nablacdot F),dV, onde V é a bola de raio 2. Em coordenadas esféricas (r,theta,phi), temos x^2+y^2+z^2=r^2 e dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi. Então a integral fica:
integral0^2pi!dphi integral0^pi!sintheta,dtheta integral0^2 6r^2 cdot r^2 ,dr = 4pi integral0^26r^4,dr

Passo 4

Agora calculamos a integral radial: integral0^26r^4,dr = 6cdot 2^55 = 1925 Multiplicando por 4pi, obtemos o fluxo.

Resposta

768pi5

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