CERTO ou ERRADO. JUSTIFIQUE
Os estimadores de mínimos quadrados do modelo Y=alpha X+beta+Z são estimadores BLUE.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pergunta se os estimadores de mínimos quadrados do modelo $ Y = \alpha X + \beta + Z $ são estimadores BLUE. Vamos entender o que isso significa:
  • Modelo: $ Y = \alpha X + \beta + Z $, onde $ Y $ é a variável dependente, $ X $ é a variável independente, $ \alpha $ e $ \beta $ são parâmetros a serem estimados, e $ Z $ é o termo de erro.
  • Estimadores de Mínimos Quadrados: São métodos para encontrar os melhores valores de $ \alpha $ e $ \beta $ que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pelo modelo.
  • BLUE: Significa “Best Linear Unbiased Estimator” ou “Melhor Estimador Linear Não Viesado”. Isso quer dizer que, entre todos os estimadores lineares que não têm viés (ou seja, em média, acertam o valor verdadeiro dos parâmetros), os estimadores BLUE têm a menor variância possível.
Vamos precisar entender o Teorema de Gauss-Markov, que nos diz as condições sob as quais os estimadores de mínimos quadrados são BLUE.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Gauss-Markov. Ele afirma que, em um modelo de regressão linear que satisfaz certas condições, os estimadores de mínimos quadrados são BLUE. As condições são:
  1. Linearidade: O modelo deve ser linear nos parâmetros, ou seja, a relação entre $ Y $ e $ X $ deve ser linear em $ \alpha $ e $ \beta $.
  2. Exogeneidade: O termo de erro $ Z $ deve ter média zero, isto é, $ E(Z) = 0 $.
  3. Homoscedasticidade: A variância do termo de erro $ Z $ é constante para todos os valores de $ X $, ou seja, $ Var(Z) = \sigma^2 $.
  4. Não autocorrelação: Os termos de erro $ Z $ não estão correlacionados entre si.
  5. Nenhuma multicolinearidade perfeita: As variáveis independentes não são combinações lineares exatas umas das outras.
No nosso modelo $ Y = \alpha X + \beta + Z $, assumimos que ele é linear nos parâmetros $ \alpha $ e $ \beta $. Além disso, para que os estimadores sejam BLUE, precisamos que as outras condições do Teorema de Gauss-Markov sejam satisfeitas.

Passo 3

Agora, vamos verificar se as condições do Teorema de Gauss-Markov são atendidas no modelo dado:
  1. Linearidade: O modelo $ Y = \alpha X + \beta + Z $ é claramente linear em $ \alpha $ e $ \beta $.
  2. Exogeneidade: Assumimos que $ E(Z) = 0 $, ou seja, o erro tem média zero.
  3. Homoscedasticidade: Supomos que a variância de $ Z $ é constante, $ Var(Z) = \sigma^2 $, independentemente do valor de $ X $.
  4. Não autocorrelação: Assumimos que os erros $ Z $ não estão correlacionados entre si.
  5. Nenhuma multicolinearidade perfeita: Como temos apenas uma variável explicativa $ X $, não há problema de multicolinearidade.
Todas as condições do Teorema de Gauss-Markov são satisfeitas no modelo apresentado.

Passo 4

Como todas as condições do Teorema de Gauss-Markov são atendidas, podemos concluir que os estimadores de mínimos quadrados $ \hat{\alpha} $ e $ \hat{\beta} $ são os melhores estimadores lineares não viesados. Isso significa que eles são BLUE, ou seja, têm a menor variância entre todos os estimadores lineares não viesados.

Resposta

CERTO. Os estimadores de mínimos quadrados do modelo $ Y = \alpha X + \beta + Z $ são estimadores BLUE, pois o modelo satisfaz todas as condições do Teorema de Gauss-Markov, garantindo que esses estimadores são os melhores lineares não viesados disponíveis.

Exercícios relacionados