A experiência passada mostra que 1 % das lâmpadas incandescentes produzidas numa fábrica são defeituosas. Encontre a probabilidade de mais que uma lâmpada, numa amostra aleatória de 30 lâmpadas, sejam defeituosas.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Sabemos que 1% das lâmpadas produzidas são defeituosas. Queremos descobrir a probabilidade de que, em uma amostra de 30 lâmpadas, mais de uma seja defeituosa. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades em situações com um número fixo de tentativas e duas possibilidades de resultado (defeituosa ou não).

Passo 2

A Distribuição Binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas. A fórmula é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (30 lâmpadas)
  • $ k $ é o número de sucessos (lâmpadas defeituosas)
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (1% ou 0,01)

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de mais de uma lâmpada ser defeituosa, ou seja, $ P(X > 1) $. Para facilitar, podemos calcular isso subtraindo a probabilidade de ter 0 ou 1 lâmpada defeituosa da probabilidade total (que é 1).
P(X > 1)

Passo 4

Vamos calcular $ P(X = 0) $, a probabilidade de nenhuma lâmpada ser defeituosa:
P(X = 0)

Passo 5

Agora, calculamos $ P(X = 1) $, a probabilidade de exatamente uma lâmpada ser defeituosa:
P(X = 1)

Passo 6

Somamos as probabilidades de 0 e 1 lâmpada defeituosa e subtraímos de 1 para encontrar $ P(X > 1) $:
P(X > 1)

Resposta

A probabilidade de mais de uma lâmpada defeituosa em uma amostra de 30 é aproximadamente $ 0,0361 $ ou 3,61%.

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